Weierstrass: lllinr Fiinctinnen einer reellen Veränderlichen. 799 



\f{x' + ku) e " dx = \f{x )e " dx , 



und somit, wonn man. unter r eine beliebige reelle Grösse verstehend, 

 ( q) (/) (r) = — 1 -vi/ (w) p" ""' r/?/ =: — \// (u) cos {rn) du 



2U)J_ (Jü.l 



setzt: 



(10) C,^ = f{'^)(i;.A->''^''<^-'- 



Setzt man 



( I I ) A,, = — / (^ ) cos — X dx , A,,^ — f(x ) sm — x dx , 

 2cJ_ c 2r.£ c 



so ist 



(12) c„={A^-iÄ:,)cpf'^\ 



imd somit 



„ ,, , 2 (nkTt\ ( , n-K ,, n-K 



(13) F{x,li)=-A^^ z - </)( •IA„cos — a; + ^„sm — x 



c 



Nach der vorstehenden Formel ist (p{v) eine stetige Function 

 von r , die für r =; o den Werth i aimimmt. 



Setzt man in dem Ausdrucke auf der Rechten der vorstehenden 



Gleichung ^ = o , so reducirt er sich auf 



, -^ ( , n-K ,, . nir \ 



A„ + 2 > IA„ cos — X + A,, sm — x] , 



,tr.V ^ '^ ) 



d. h. er geht in die Reihe über, in welche sich die Function f(x) im 

 Allgemeinen — d. h. wenn man von speciellen, bisher noch nicht hin- 

 reichend charakterisirten Functionen absieht — nach dem FouRiER'schen 

 Theorem entwickeln lässt. Da aber, wie zuerst Hr. P. du Bois-Reymond 

 an einem Beispiele nachgewiesen hat, in der That Functionen f(x) exi- 

 stiren, welche für gewisse Werthe von x, die sogar in jedem noch 

 so kleinen Intervall (a;, . . .a;,) in unendlicher Anzahl vorhanden sein 

 können , durcli die vorstehende Reihe nicht dargestellt werden , so ist 

 damit dargethan , dass man, imi die Grenze zu bestimmen, der sich 

 die Reihe auf der Rechten der Gleiclumg (13) nähert, wenn k unend- 

 lich klein wird, nicht unbedingt in jedem einzelnen Gliede der 

 Reihe Ä- = o setzen darf. 



Die Reihe S C„c" convergirt, wie gezeigt worden ist, für jeden 

 Werth von z, mit Ausnahme der beiden Werthe o , 00. Die Reihe 



convergirt also für jeden endlichen Werth von z. 



