Weierstrass: Über Fnnctionen einei' reellen Veränderlichen. 801 



So ergiebt sich der Satz 



D. »Ist f(x) eine fiir jeden reellen Werth von x eindeutig de- 

 finirte, durchweg stetige und reell -periodische Function, so lässt sich 

 nach Annalime einer beliebig kleinen positiven Grösse g, auf mannig- 

 faltige Weise eine endliche FouRiER'sche Reihe herstellen, welche sich 

 der Function /(x) so genau anschliesst, dass der Unterschied zwischen 

 l)eiden Functionen tiir keinen Werth von x mehr als g beträgt.« 



Aus diesem Satze lässt sich dann durch das beim Beweise des 

 Satzes (C.) angewandte Verfahren, wenn man unter den dortigen 

 Functionen G^{x), G^{x), G^{x), . . . jetzt endliche FouRiER'sche Reihen 

 versteht, welche dieselbe primitive Periode wie f{x) haben, der fol- 

 gende ableiten: 



E. »Jede Function /(:c) von der unter (D.) angegebenen Beschaffen- 

 heit lässt sich, wenn 2r die primitive Periode derselben ist, darstellen 

 in der Form einer Summe, deren Glieder sämmtlich endliche FouRiER'sche 

 Reihen mit der Periode 2(' sind. Diese Reilie convergirt unbedingt 

 für jeden Werth von x und gieichmässig in jedem endlichen Intervalle.« 



Um das Vorstehende durch ein einfaches Beispiel zu erläutern, 

 nehme ich 



■\p{x) = f""'. 

 Dann ist 2w = J/tt und 



+'^ -— +00 .2 „ 



cos vx , 



WO ^^{x , q) die JAioBi'sche Function 



I -|- 29 cos 2X + 25^ cos 4X + 2q^ cos 6x -\- . . . 

 ist. 



Hiernach hat man 



(2 , ) F{x, k) = ^ [/(^') &3 i^^ IT , 9 j dx\ wo q^e'^. 



Die Formel auf der rechten Seite dieser Gleichung konnnt schon 

 bei FouRiER vor (Theorie analyticjue de la chaleur, Chapitre X.). Um 



