Weierstrass: Über Functionen einer reellen Veränderlichen. 80 o 



woraus folgt, dass auch (p selbst ihr genügt, da die in Rede stehende 

 Reihe eine eindeutige analytische Function von x und t ist, wenn 

 man die Grösse t der Bedingung unterwirft, dass ihr reeller Bestand- 

 theil positiv sein soll, und weil überdies die Reihe in jedem endlichen 

 Bereiche der Grössen x , t gleichmässig convergirt. Endlich ändert 

 die Reihe ihren Werth nicht, wenn x 4- 2r für x gesetzt wird; es 

 entspricht also die durch sie ausgedrückte Function vollständig den 

 gestellten Bedingungen. 



p]s ist äusserst merkwürdig, dass bei einem Problem der mathe- 

 matischen Physik für eine gesuchte, von zwei veränderlichen Grössen, 

 die nach ihrer physikalischen Bedeutung nur reelle Werthe haben 

 können, abhängige Function, welche fiir einen bestimmten Werth 

 eines ihrer Argumente einer gegebenen willkürlichen Function des 

 anderen gleich sein soll, ein Ausdruck sich ergiebt, der eine analy- 

 tische Function der Veränderlichen ist luid somit auch für complexe 

 Werthe der letzteren eine Bedeutung hat. 



Es bedeute jetzt n eine ganze positive Zahl, und es werde gesetzt 



,■=+« --f 

 % {x ; ü)„ = 2 e "♦ cos vx , 



so ist nach Gleichung {i8) 



% (x ; ü) = %{x; v)„ + 2 X € '* cos vx . 



..= « + ! 



Für reelle Werthe von x ist aber der absolute Betrag des zweiten 

 Gliedes auf der Rechten dieser Gleichung, der mit R„ bezeichnet 

 werde, niemals grösser als 



also 



R„ < e ■* ".226 -t _ 

 Setzt man nun in der bekannten Gleichung 



: + 2 2 e^ " = ^= 1 I + 2 2 f ' , 

 ..=1 ]/t V .=1 / 



wo unter t eme positive Grösse zu verstehen ist, t := — , so ergiebt 

 sich, wenn v positiv ist, 



^ -'i^ 2]/t 41/^ oc -i!^' 



2 2 e ■» = ~ I + -^~ %e " ; 



es ist also 



2]/^ _<»±I):„= i ^ _^-^) t 



V l 2)/7r "=i ) 



