Weierstrass: Über Functiünen einer reellen Veränderlichen. 805 



gesetzt wird. An die Stelle dieser Gleichung, die nicht unter allen Um- 

 ständen richtig ist, tritt also die vorhergehende, ausnahmslos geltende, 

 in der die Function %(«,«) ersetzt ist durch eine andere, %{x,n), 

 welche gleich % {x , fi) die Form 



I + 2(« , l) COSa; + 2{ll , 2) cos 2X + . . . + 2{m , fl) COS 71X 



hat, wo (n,v) eine von n und v abhängende positive Grösse bedeutet, 

 die in %{x) sich auf die Einheit reducirt. Für jede bestimmte Zahl v ist 



Lim • (« , v) = i; 



man kann also n so gross nehmen , dass die [v + 1) ersten Glieder von 

 %{x,n) mit den entsprechenden Gliedern von %{x , n) so nahe über- 

 einstimmen, wie man will. 



Functionen %{x , 71) von derselben Form und Beschaffenheit, wie 

 die hier betrachtete, für welche die Gleichung (28) el)enfalls unbedingte 

 Gültigkeit hat, lassen sich auch aus der obigen Function yj(x ; v), die aus 

 einer beliebigen Function ■4'(«) entspringt, ableiten. Man kann immer 

 eine von n abhängende positive Grösse v„ so bestimmen, dass die 

 Differenz 



% {x ; ü„) — 5 <p'(vv„) cos vx 

 gegen Ntdl convergirt, wenn 7i ohne Ende wächst, und dann ist 



(3 ' ) %{X,71) ^= X (p (vü„) cos VX =^ l + 2 "X (p (VV,,) cos VX 



eine Function von der angegebenen Beschaffenheit. 



Selbstverständlich soll damit nicht gesagt sein, dass man auf 

 diese Weise alle Functionen der in Rede stehenden Art erhalte. 



Schliesslich möge noch bemerkt werden , dass die Gleichung (28) 

 für die zwischen — c und e liegenden Werthe von x, wie leicht zu 

 beweisen ist, auch dann noch besteht, wenn unter f{x) eine Function 

 verstanden wird , welche in dem Intervalle von x = — c bis x =^ c 

 eindeutig definirt und stetig ist, ohne dass /(e) =:f[—c) zu sein braucht. 

 Für X =^ sE c ist dann auf der Linken der Gleichung 



statt /(+. r) zu setzen. 



