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Über eine bei Anwendung 

 der partiellen Integration nützliche Formel. 



Von L. Kkonecker. 



(Vorgetragen am 16. Juli [s. oben S. 689].) 



Wenn f[x) und rj(x) eindeutige Functionen der reellen Variabein x 

 und /'*'(a;) , ^*^'(a:) ihre Aten Ableitungen bedeuten, so i.st: 



r\x)cf'-'\-x) -r-'(^)/-^+'*(-^) = -^ — -^ — - — ^- 



ax 



Nimmt man liierin A= i , 2 , . . . ?^ und summirt, so resultii't die 

 DifFerentialformel : 



''zld{f''-'\x)g^''-''\-x)) 

 (D) f"\x)g{-x) -f[x)cr{-x) = 2^^ -^ ^ ' 



und also auch die Integralf ormel : 



CS) \f\x)g{- X) fix J/(x)^<"'(- ^) <Jx =V \d{f''-'\x)cf'-''\-- X)) , 



durch welche die verschiedenen Anwendungen der partiellen Integration 

 schematisirt werden. 



1. Die Formel (J) geht unmittelbar in die TAYLOR'sche über, wenn 

 man die Integrationsvariable c an Stelle von x nimmt und dann: 



Fix)= \f{z)dz, g(z) = ^-^^ 



setzt. Denn das erste Integral auf der linken Seite von (3) wird als- 

 dann das »Restintegral« der TAVLOR'schen Formel: 



das zweite, nämlich: 



U{x~zrF<"+^\z)dz, 

 \.fix)y^"'( — x)dx wird gleich — F(x) -\- F{x„) , 



