842 Sitzung der phys.-matli. Classe v. 30. Juli. — Milfheilung v. 16. Juli. 



und endlii'h wird, wenn /'*""(-i") i" <l<'"i iTitervalle (j'q.x) .stetig ist: 



so dass in der Tliat die TAYLORsche Formel: 



( i) Fix) = F(x^) +2 -^^—i^'^^o) + yjjlx -- .)" F'"+'\z) dz 

 A=i * ■ 'j-„ 



re,sultii't. 



II. Unter Festhaltung der Vorau.ssetzving- der Stetigkeit von 

 f'(x) , f (x) , . . . /^"""{x) und l)ei Annahme von: 



cj(x) = f" 

 resultirt ferner au.s der Formel (3) die Gleichung: 



(2) ff'\x)e-'^dx-ti''(f(x)e-'"<Ix=Xy-'-{f'--'\x)e-"'--f''-'\x„)e-'"'). 



III. Nimmt man in der Formel (3): 



g(x) = [(x + x„) (x + X,)]" 



tnid erstreckt die Integration von x^ his x,, so verschwhiden, unter 

 Voraussetzimg der Stetigkeit von f'{x) , f"(x) , . . . ß"^'\x), die sämmt- 

 lichen Integi'ale auf der rechten Seite. Man erhält demnach die 

 Formel : 



(3) fr\x)[ix^xMx~x,)r'ix=jh f^^'' ~''a^~'''^^'' "^^' 



welche die charakteristische Eigenschaft dieser Function r/'"'(— a:), dass 

 der Werth des Integrals if(x)y^"\—x)dx, für irgend welche ganze 



Functionen (?*— i)ten Grades /(a:), verschwindet, in Evidenz setzt. Dies 

 ist aber jene Eigenschaft, auf welcher Jacobi in seiner Abhandlung: 

 »Über Gauss" neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu 

 finden« die Bestimmung der hier mit _r/"'( — .r) bezeichneten Function: 



d"\(x — Xo){x—x,)y 

 daf 

 basirt, und er gebraucht dazu a. a. 0. im §. 4 audi eine Formel für 

 die Darstellung von fuvdx , welche von der Gleichung (3) "ur fonnal 

 verschieden ist imd aus ihr hervorgeht, wenn u—f(x) und t^=g^"\—x) 

 gesetzt wird. 



IV. Nicht Idoss in dem liier lieliandchen speciellen Falle, sondern 

 überhaupt, wenn die Functionen: 



