Kronecker: Eine bei Anwendung der partiellen Integration nützl. Formel. 843 



stetig sind (ind an beiden Integrationsgrenzen einerlei Werth haben, 

 verschwindet der Ausdruck auf der rechten Seite der Formel (3) und 

 es kommt: 



(4) J/"' (^) 9 (- A dx = J/(^) ^<"' {-x)dx. 



Die angegeV)enen Voraussetzungen sind erftillt, wenn die Tnte- 

 gnition in der Formel (~\) von o bis t erstreckt, ferner: 

 g[x) = cos2k(x -\- y)TT 



gesetzt und für k irgend eine ganze Zalil, für f{x) aber irgend eine 

 Function genommen wird, die ebenso wie jede ihrer ri—i Ableitungen: 



f\x),f"{x), /""-'(x) 



von a: = o bis x = i stetig ist und an den beiden Grenzen des 

 Intervalls x = o und x = i denselben Werth hat. Die Gleichung (4) 

 geht alsdann, da: 



(/'"'(x) = {'ikiT)" cos(2Au'+ 2ku -\- ~ n)iv 

 wird, in folgende über: 



( 5 ) /'"* (x) cos 2k (y — x) -rrdx = ( 2 A-tt)" \f(x) cos ( 2 % — 2kx+ ~ n) irdx , 



o 



in welcher ?/ eine Variable bedeutet. Bestimmt man nun '^'i- , (^'i"* , ?V > *'i"' 

 gemäss den Bedingungen: 



\f(x) cos 2k(y — x) irdx = r-^ cos {2ky — i\) ir 

 \ß"\x)co%2k(y — x) Tvdx = r^"' cos ( 2 At/ — ri"*) tt , 



so gelten — unter der einzigen Voraussetzung, dass die Function /'"'(a;) 

 überhaupt durch eine FouRiER'sche Reihe darstellbar ist — die 

 Reihenentwickelungen : 



f{x) = lim S Ci,cos{2kx — i\)7r , ß"\x)=\im X ci"*cos(2A-ar — (;J"')7r. 



(o<x<i) 



Aus der Gleichung (5) folgt al)er, dass: 



d"C;, cos(2ky — «^)'7r 



ci"'cos(2Ay — it')7r 



dy" 

 also 



ist, und die Eutwickelung von p"\x) wird daher folgende: 



yt">(x) = lim S (2kiv)" ri^ros{2kx — Vi; -{- \ n)T: (o<j-<0, 



