844 Sitzung der phys. -math. Classe v. 30. Juli. — Mittlieilung v. IG. Juli. 



(1. h. sie geht durch nmalige gliedwei.se Dift'erentiation ans der Ent- 



wickehmg von f{x) hervor.' 



In jeder der Entwickekmgen : 



*■=+.■ 

 f-^x) = lim 2 {^kitf c„ co.s {-ikx — v^ + Th)ir (/.= ■, 2, ...n;o<.r<i) 



fehlt das von x unabliängige , dem VVerthe k =^ o entsprecliende 

 Glied. Denkt man sich dieses (illied der FouRiER'schen Reihe tiir 



f^''\x) durch das Integral: \ß''\x)dx dargestellt, so kommt: 

 [/'"(a;) dx = /"'-'( 1 ) -/'^-"(o) = o . 



Man kann also, von irgend einer, in eine Fourier'scIic Reihe ent- 

 wickelbaren, im Intervalle von x = o bis x = i durchweg endlich 

 bleibenden Function -^(x) ausgehend, zuerst die Function /'"'(a;) durch 

 die Gleichung: 



f"\x) = 4^{x)-\'4^(x)dx, 



o 



hierniichst die Function /*""'* (:r) durch die beiden Relationen: 



O 



definiren, ferner ebenso die Function /*"""* (x) gemäss den Bedingungen: 

 /"'-'(^) = ^^^''^, ff''-Hx)dx = o 



und endlich in analoger Weise nach einander die übrigen Functionen 

 f"-^\x),f"-^\x), ...f'{x},f(x) bestimmen. 



Für die so bestimmten n + 1 Functionen P''\x) gelten dann die 

 Reihenentwickelungen : 



fHx) =_hm*V"(2M*r,cos(2^vr-r, + lÄ)7r ('=''^;-";;;;: = ^^ = ') = 



luid die Werthe der darin vorkommenden Grössen r^. , i\. können aus 

 der Entwlckelung ii'gend einer dieser n + i Functionen /'''*(x) ent- 

 nommen werden. 



V. Nimmt man in der Formel (3) fiir/(x) eine Function, welche 

 nebst ihren Ableitungen /'(x) > /"(^) > • • -/'""''(a") in dem ganzen Intervalle 



' Vei'gl. Hrn. P. du Bois-Keymünd's Aufsatz »l'bcr die liili'sraliiin der trigonu- 

 lu^tri.schpii Reihe- Math. Annaleu Bd. XXII. iS. 260. 



