Kronecker: Eine bei Anwendung der partiellen Integration nützl. Formel- 845 



von Xo bis x^ endlich und stetig ist, für (j(x) aber eine solche, deren 

 (m — i)te Ableitung an einzehien durch die Werthe: 



X = X^, X,, . . . Xr_, (-^o < *i < -1^2 • • • < «r-l < *r) 



bezeichneten Stellen des Intervalls (x^, x,) unstetig, dabei jedoch durch- 

 weg endlich ist,' so verwandelt sicli die Gleichung (3) iu eine ganz 

 allgemeine Summenformel, und hierin besteht wohl die merk- 

 würdigste Anwendung, welche man von jener Integralformel (3) machen 

 kann. 



Unter der angegebenen Voraussetzung wird nämlich das erste, 

 dem Werthe h=^i entsprechende Integral auf der rechten Seite von (3): 



fd(f(x)g^"-">{~x)) 



gleich der Summe: 



(®°) -/(^o)^'"-"(-^o) +'2 7(^,.)lim[r;<"-"(£^-^;c,,)-ör<"-'{-£^-a;,)l+/(a:.)^<"-"{-^.) . 



und diese wird daher gemäss der Integralformel (3) durch den Aus- 

 druck : 



(3^) \fn^)f/{-x)dx--ff{x)g^''\-x)dx+piy~'H'i-^^^^^^^ 



dargestellt, wenn die Function y'"^''(^) innerhalb jedes einzelnen Inter- 

 valles (x^., X/,^X in welchem sie stetig ist. zugleich Ableitungen g^"\~x) 

 mit endlichen Werthen besitzt. 



Man kann also irgend welche r stetige, diflerentürbare Functionen: 

 ^,{x) , (p^ix) , . . . (I),{x) 

 annehmen und alsdann die Function (/"~'\x) dm-ch die Bedingung: 



^(«-■)(_ ^j _ (p^(x) für a;j._, <x<.X/, (A- = i , 2 ,...»•) , 



d.h. also dadurch definiren, dass sie in jedem der r Intervalle: 



%_, <X<X,i (k—i,2,...r) 



mit der bezüglichen Function tp^^x) übereinstimmen soll. 

 Es ist dann auch: 



— (/<"'(— a-) = (^il,(a;) fürx^_, <a;<% (A; = i ,2, .. .r) 



zu setzen, wo <p'k{x) die erste Ableitung von <pk{x) bedeutet, und die 

 Functionen (/'^^''{x) , g^"'''^\x) , . . .g{x) sind durch die Gleichung: 



{f\x)dx^g^'-'\x) 



' Die Functionen y(j:),y' {x),...y^"-'^)(x) sind alsdann offenbar endlich und stetig. 



