846 Sitzung der pliy.s.-iiiatli. Classe v. 30. Juli. — IMittiieilung v. Ifi. Juli. 



ZU be.stimmen, wenn man darin der Reilie nach h = n - - i , n — 2 , . . . i 

 luid die unteren Grenzen m„_, , //„_2 ,...?/, ganz beliebig annimmt. 

 Da nun bei den angegebenen Bestimmungen: 



limy"-"(r -- Xi,) = fi.(x,) , lim^"*-"(- e' - x^) = <^*+,(ar^.) a-=.i , 2 . . . . r) 



t=0 £=0 



wird, so erhält man die ganz allgemeine Summenf "ormel : 



(®) ^S J<?)*(a;,) - </>,+, (%)]/(%) = J/(x)</.'(x)r/x +J/<"V)ö'(- x) fix 



+ 'x f'-'\xj y^''-'\-x,)-''x /''-'\x^y^'^-''(- x;) , 



h = 2 Ä = 2 



in welcher: 



fJx^) = o , (p^_^^{x,) = o 



luul i'ür X/^._, <,x <iXi^: 



<p' [X) — (p'^(x) (k = J,2,...r) 



zu setzen ist. Nimmt man speciell: 



W, := Mj = . . . =; 1|„_^ = X^ , 



SO wird (/{xj = </{Xo) = 9"{^o) = • . ■ = ^*"~'*(^o) ^= o und der Ausdruck: 



auf der rechten Seite der Formel (3) tallt alsdann weg. 

 VI. Setzt man: 



fki^) = X -x;_, (^-=1,2,. ..r) 



und wählt dabei die Grössen x' so, dass: 



X/,_,<X[._,<X^ (i-=:l,2,...r) 



wird, so ist f'(x) = i, und die Formel (®) ergiebt alsdann (hei Fest- 

 haltung jener über die Grössen u getroftcnen Bestimmung: u, ^u^ = . . . 

 =^ H„_, = x^ den Ausdruck: 



(A) 



{f{x)dx - ^5_/""(a;,)//"-''-"(- x) + {p''\x)y(- x)dx 



als den Werth der Summe: 



[x'^ - x^)f{x^) + (;r; - a;;)/(a-,) + (x'.^ - x[)f[x^) + .... + (x, — xl_,)f{x,). 



Diese Summe, in welcher je ein Functionswerth f(x^) mit dem abso- 

 luten Werthe eines das Argument enthaltenden Intervalls (x^_, , x\) 

 inultiplicirt ist, stellt in allgenuMiister Weise einen Näherungswerth 

 jenes Integrals: 



/» •''/■ 

 f(x) (Ix 



