Kronecker: Eine liei Anwendung der partiellen Integration nützl. Formel. 847 



dar, welches den ersten Tlieil des Ausdrucks (A) bildet. Der Unter- 

 schied zwischen dem Näliorungswerthe und dem Integralwerthe selbst 

 wird daher durch den übrigen Theil des Ausdrucks, nändicli durch: 



-' J_ y'Uv)i/<"-*-'»(-x,.) +jf"\x)c/(-x)clx 



dargestellt. Dabei ist 



/'-^)(x)=P"-)(x)r7^, 



also, wenn x zwischen x^.^, und X/^. liegt: 



(f'-^-\x) = — ^i _ I (X + 4_,) dx — \[x + a-;_,) dx 



oder : 



— (f'-'\x)=^~ar + X|,_,x — ~xl—x^._,x',_,+ 2 x[_,(xi,~ x,,_,) , 



Ä= 1 



und die Functionen g^"~'^\x) , r/*"~-''(a') .... sind durch weitere Inte- 

 grationen zu l)ilden. 



VII. Bedeutet ^^{x) irgend eine, für alle Werthe von x^o 

 bis x^ I endliche, stetige und dift'erentiirbare Function, deren Werthe 

 tiir die beiden Intervallgrenzen von einander verschieden sind, und 

 setzt man: 



4^{x) — ^iy(x]dx=^c/^''-'\—x), 



h 



SO kann f/'"~'*(— a;) durch eine FouRiER'sche Reihe: 



S -^cos{2kx + i\. + ^)7r (o<x<i) 



darge.stellt werden, in welcher die Summation deshalb nur von A:=i 

 an zu erstrecken ist, weil nach der über ^'"~"( — x) getroffenen Fest- 

 setzmig- : 



fff^''-'\-x)dx = o 



wird. Man kann nun von der Function g^''~^\— x) ausgehend — gemäss 

 den Darlegungen am Schlüsse des art. IV — durch successive Inte- 

 gration zu n — I Functionen: 



g^"--^{-x), 5^'"-3'(-x), g'(-x), g{-x) 



gelangen , für Avelche die Relationen : 



9"\-^)^--^ ' J/"(-^)^^=/-"(-l)-/'-"(0)=:0 (/,^,.2,...»-) 



