Kroneckef : Eine bei Anwendung der iiartiellen Integration nützt. Formel. 851 



art. VII enthaltenen Darlegungen, die übrigen Functionen (/{x) völlig 

 bestimmt; sie gehen nämlich mit Hülfe der Relationen: 



/>(a:) = _^— i-' , /'(-a;)r/a:=o (A=.,2,...«- ■) 

 fix J 



o 



der Reihe nach durch Integration aus einander hervor. Es ergeben 

 sich also auf diese Weise nach einander jene ganzen Functionen, welche 

 die Werthe der Reihen : 



2"° 2 cos 2liXTr 

 ; (o<a-<i) 



fvir m = I , 2 , 3 , . . . darstellen. Aber man gelangt dazu auch ganz 

 direct, wenn man die Ausdrücke auf beiden Seiten der (Gleichung: 



(7) r- = — . lim zl 



1 



nach steigenden Potenzen von w entwickelt; denn der (Joefficient von ic" 

 wird dann auf der rechten Seite die Reihe: 



*=c 





und auf der linken Seite eine ganze Function von x, deren Coefficienten 

 die Entwickelungscoefficienten von: 



I — e""^ 

 und alsf) die BFRNouLLi'schen Zahlen enthalten. 



Wenn man in der B'ormel (©") an Stelle der Reihe: 

 JlT 2 cos iltxi: 



— wie es bei Jacobi und seitdem in fast allen Arbeiten über diesen 

 Gegenstand geschehen ist — ihre Summe als ganze Function von .r 

 einfährt, so verliert die Formel wesentlich an Eleganz. Demi dieser 

 Summenausdruck ist für die verschiedenen Intervalle o<a;<.i , i<a;< 2, 



2<x<3, r— i<a;<r verschieden, und das von o bis r erstreckte 



Integral mliss deshalb in /• Integrale getheilt werden, deren jedes sich 

 nur über eines der /• Intervalle erstreckt. Wenn man alsdann die 

 Integrationsvariabein so ändert, dass sich alle Integrationen von Null 

 bis Eins erstrecken, so erscheint an Stelle der Fimction /'""'' (j-) unter 

 dem letzten Integralzeichen in der Formel (©") eine Summe solcher 

 Functionen , wie sie sich in der That in der citirten JAcoBi'schen 

 Formel findet. 



