852 Sitzung der |ihys.-iiiatli. Classe v. 30. Juli. — Mittheiliirif; v. 16. Juli. 



X. Die üben benutzte Gleiclnnig (7) habe ich .schon in meiner 

 Mittheilung vom April 1883' angegeben. Sie gilt für reelle, nicht 

 negative Werthe von x, die kleiner als Eins sind, und aber fiir ganz 

 beliebige (auch complexe) Werthe von w. Sie lässt sich übrigens noch 

 in folgender eleganten Weise darstellen: 



* = + '■ -2{w + k)x,i 



(8) (r'--- ,) lim S -^y^—j^. = i, 



und, indem r"''"=^ ?/ gesetzt wird, auch so: 



(q) C» — i)lun>^j = 1 (o<x<i), 



„ = ro "^ log K 



wenn unter u eine beliebige complexe Grösse verstanden und die Sum- 

 mation auf alle Werthe von log ii ausgedehnt wird, deren absoluter 

 Werth kleiner als fx ist. Aus der Gleichung (9) ergiebt sich endlich 

 die für jede reelle Grösse x geltende bemerkenswerthe Relation: 



e-^""^" I 



in welcher mit [x] nach Gxuss'scher Weise die durch die Ungleichheits- 

 Bedingungen : 



[x]<x< [x] + I 



bestimmte ganze Zahl bezeichnet ist. 



Die Gleichung (7) lässt sich aus den schon oben citirten, in der 

 PoissoN'schen Abhandlung mit (13) und (14) bezeichneten, Formeln 

 erschliessen ; sie geht aber in ganz directer Weise aus der Entwicke- 

 lung von: 



cos 2WX7r + i sin 2wx7r 



in eine nach cosinus und sin>is der Vielfachen von 20:77 fortschreitende 

 Reihe hervor. In ähnhcher Weise gelangt man dazu, wenn man die 

 wie Potenz einer complexen Variabein 1^ durch das CAUCHv'sche Inte- 

 gral darstellt. Offenbar ist nämlich: 



iTrid" = I -^ — 5 dz, 



wenn man die Integration von einem Punkte z = Re" an, bei festem R, 

 bis zum Punkte z = jR?'""*"^""''' erstreckt, dann bei Festhaltung des 

 Bogenwerthes t; + 277 — s und abnehmendem Radius vector bis zum 

 Punkte c — j.p(<'+2''-t)<^ ferner bei festem r und abnehmenden Bogen- 

 werthen bis zum Pvmkte z = ?r"' und endlich von da bei Festhaltung 

 des Bogenwerthes v und wachsendem Radius vector zurück zum Aus- 

 gangspunkt z ^= Rf". Hier1)ei ist angenommen, dass: 



' Zur Theorie der elliptischen Functionen. Sitzungsbericht XX, XXI, S. 49g. 



