Kronecker: Eine bei Anwendung der partiellen Integralion nützl. Formel. 85ö 



r<\^\<R 



sei, oder also, wenn ^ =^ pn^' gesetzt wird: 



r<p<R. 



Es ist ferner angenommen, dass der Werth von e positiv aber beliebig 

 klein sei, und dass der Bogenwertli er jedenfalls zwischen v und 

 ü + 27r — £ liege. Alsdann umschliesst der angegebene Integrationsweg 

 den Punkt ^, und die Fimction z'" ist für alle Wertlie von z in dem 

 umschlossenen Gebiete eindeutig. 



Von den vier Integralen, welche auf die angegebene Weise resul- 

 tiren, lassen sich die beiden, bei denen der Radius vector fest bleibt, 

 beziehungsweise nach positiven Potenzen von: 



R ""^ I 



entwickeln und die anderen beiden Integrale können in eines ver- 

 einigt werden. Man erhcält hiernach die folgende Darstellung von <^"' 

 fiir alle Werthe von ^, deren absoluter Betrag zwischen r und R liegt: 



i) w ^T*, iw — k 10 + k ) Jt- 



Setzt man hierin ^ = pe^' , (t ■= v -\- 2x17 , p = ^R,r = ^p, so resultirt die 



für alle zwischen Null und Eins liegenden Werthe von x und S 



gültige Formel: 



•I 



(s ^ 1 für i > o ; £ = — 1 iur k < o) 



welche in die oben mit (7) bezeichnete Formel übergeht, wenn sich ^ 

 dem Grenzwertlie ^ = 1 nähert. 



Die Gleichung (12) kann noch, wenn man, wie oben, e""" = u 

 setzt, in folgende transformirt werden: 

 1 



(■3) kzrT^yji— ^i^+.| +1"^. S ,„-Z. • 



Die Integration ist hier in Beziehung auf die complexe Variable z, 

 bei B>sthaltung des Bogenwerthes , von demjenigen Werthe an, bei 



dem 1^: I = Ä ist, jbis zu dem, bei welchem |*| = -v ist, zu erstrecken, 



und der Werth des Integrals wird alsdann durch den Ausdruck auf 



