Kr(ine(ker: Eine bei Anwendung der partiellen Integration nützl. Foi'nicl. 85a 



die i'unction f[x) mit einer Function ^'"'(— x) miiltiplicirt ist, welche 

 in dem ersten Intervalle von a: = o bis ^ = i ganz willkürlich ange- 

 nommen werden kann, deren übrige VVerthe aber alsdann dvu'ch die 

 Periodicitätsgleichung : 



g^"\^x) = (/"\-X~ I) 



ZU bestimmen sind. 



Um die hier betonte Willkürlichkeit der Function g''"\~- x] genauer 

 darzulegen, erinnere ich daran, dass den Entwickelungen im art. VII 

 irgend eine für alle Werthe von o: = o bis .r = i endliche, stetige 

 »uul diflerentiirbare, der Ungleichheitsbedingung -^[o) ^\|/(i) genügende 

 Function -^[x) zu Grunde gelegt mid dann: 



■^{x) — \^4/[x)(Jx = /'-"(— a;) 



gesetzt worden ist. Geht man nun von irgend einer endlichen, integrh-- 

 liaren Function (/'"'(— a;) aus, deren Wahl einzig und allein durch die 



Bedingung: [fJ"\-~x)dx^o beschränkt wird, so hat man — um 



eine für die weitere Deduction geeignete Function g''"~^\—x) daraus 



abzuleiten — nur (/'""''(— a;) durch die Differentialgleichung: 



dcf'-^\-x) 

 g<\-x) = ^— 



und die Constante der Integration so zu bestimmen, dass: 

 fg^''-'^- x)ldx = o 



o 



wird. 



XII. Für die Abschätzung des Werthes des Restintegrals: 



\f"^{x)g(-x)dx 



o 



in der Sununenformel (©') ist man bei der Allgemeinheit der Function 

 g(-'-x) auch nur auf die allgemeine Untersuchung von Integralen an- 

 gewiesen, deren Integrand das Produet zweier Functionen ist. 



Sind nun (f) (x) , -4/ (x) eindeutige Functionen, <p'(x) , -^l^'ix) ihre Ab- 

 leitungen und ^2 , ,^4 , • • • ^2,-2 di*^ sämmtlichen zwischen ^^ und ^2,, 

 liegenden, ihrer Grösse nach geordneten Werthe von x, wofür (f>'(x) 

 verschwindet, so lassen sich Wertlie ^, , ^3 , . . . ^^,_^ so bestimmen, dass: 



(J) [cp ' {X) -4^ (X) dx =^|' (<^ (^,,) - <p (^2A_2)) ^^ (^2*-,) 



(?0<i.<?2<?3<^4<---<^=v-2<?2.-.<?3.) 



Sitzungsberichte 1885. "5 



