858 Sitzung der j)liys. -inaMi. Classe v. SO. Juli. — IMittlicilunj; v. Iß. .Iiili. 



in welcher ^, einen zwischen ^^ und ^^ liegenden Werth \()n x l>e- 

 dentet. Ganz ebenso resultirt eine Gleichung: 



£ i 



in welcher ^., ein zwischen ^^ und ^, liegender Werth von x ist. und 

 aus der Verbindung dieser beiden Gleichungen folgt: 



? £ E, £ 



[(/) (X) 4/' (a;) rfe = <p (^„) ("^^ ' (X) <lx + </) (^,) [^^ ' (X) f/x + <;) (^,) f ^^ ' {x) dx , 



so dass in der That: 



% % 



I (p (x) -^'(x) dx = [^ (x) 4^ ' (x) dx 



wird. 



Die Formel (J) gelit, wenn die Integration nur von ^^ bis ^, er- 

 streckt wird, in jene über, welche Hr. P. du Bois-Reymond in seiner im 

 LXIX. Bande des Journals für Mathematik abgedruckten Abhandlung ' 

 entwickelt und dort als »Mittel werth satz« bezeichnet hat; doch tritt 

 ihre eigentliche Bedeutimg bei dieser Beschränkung des Integrations- 

 gebietes weniger hervor. 



Die Formel (J') lässt sich andererseits auch aus der specielleren 

 P. DU Bois-REYMONo'schen Gleichmig ableiten, wenn man das Integral 

 auf der linken Seite von (J) in v Theilintegrale mit den Grenzen 



Für die Abschätzung des Restintegral -Werthes in der allgemeinen 

 Summenformel (©') braucht man nur eine der beiden Formeln (J), (.!') 

 zu benutzen. Denn wenn man: 



^{x)=f'-'\x), ■4y(x) = g{-x) 



nimmt, so erhält mau durcli die Formel (J) einen Ausdruck für das 

 Restintegral: 



\'f"\x)g{-x)dx, 



aus welchem derjenige unmittell)ar hervorgeht, welchen die Formel (J) 

 für das Integral: 



^f"-'\x)9'{-x)dx, 



also für ein Restintegral liefert, in dem die Zahl n durcli die Zahl 

 n — I ersetzt ist. 



A. a. 0. S. 82, Gleichung (9). 



