8fi0 Sitzung flei' ]iliys. -iiiath. Classp v. 'Ml .Iiili. — Mittlioiliing v. Ifi. .luli. 



(M) (f"\x) c,(-x) dx < M{(/{-x)) V{f-'Hx)) . 



und j^emäss der üleifhung (K,): 



\f"-'\x) ff'i-x) dx < .¥(/"- V)) y{y{-^)) ■ 



Setzt iiiaii in dieser letzteren Ungleichlneit /'"'U') an die Stelle von 

 f^"~'\x) und (j(--x) an die Stelle von (/'(— x), so kommt: 



(M') \f\x) g{-x) dx < .¥ (f"\x)) y[\y [-x) dx) . 



Die hier mit (M), (M') liezeiclmeten Ungleichheiten werden nn- 

 mittelhar evident, wenn man berücksichtigt, dass: 



V(/<"-'V)) = \"\f'\x) I dx. y[ \y(-x)dx) = \'\>j(-x)\dx 



o ' o 



ist; ihre eigentliche Bedeutung aber tritt erst dami hervor, wenn 

 man die Bedeutung der mit V l)ezeichneten Grössen näher in"s Auge 

 f'asst. 



Man kann nämlich r( /■''""'' (a-)^ als den Gesammtbetrag der 

 Veränderungen charakterisiren, welche die Function /''"""(o') in dem 

 Intervalle vonx = o bis x = i- erfährt, und die Ungleichheit (M) zeigt 

 hiermit die wahre Bedeutung der allgemeinen Summenformel [S') darin, 

 dass der Ausdruck rechts ohne das Restintegral den Werth der 

 Summe mit wachsendem n immer genauer darstellt, sobald nur einerseits 

 die mit g bezeichneten Functionen ihrem Werthe nach stets in gewissen 

 Grenzen eingeschlossen bleiben, und andererseits die durch weitere 

 Differentiation entstehenden Functionen /' — wenigstens innerhalb des 

 Summations- Intervalls — immer mehr an Veränderlichkeit verlieren 

 und sich also immer näher an eine Constante anschliessen. Wenn 

 zugleich die durch weitere Integration aus einander entstehenden Func- 

 tionen </( x) immer kleinere Werthe erhalten, so wächst auch hier- 

 mit die (ienauigkeit jener Darstellung. 



Die Ungleichlieit (M') zeigt, dass die Werthvermindenuig des Rest- 

 integi'als der Sununenformel (©') mit wachsendem n auch durch die 

 Vermindervmg der Werthe der Al)leitungen ß"\x) selbst bewirkt wird, 

 vorausgesetzt dass dabei die Veränderlichkeit der Functionen y(— x) 

 sich ebenfalls vermindert oder wenigstens nicht vergrössert. 



Nimmt man in der Reihe: 



- cos {2kx -f V^ -f y «) ~ , 



■^,(2Ä-7r) 



