KnoNECKER: Eine tmi Ainvctidiing- der ])artioll(>ii IntPsiration ni'itzl. Formel. 8oI 



welche die Function i/{—x) darstellt, ti = 2m und die Grössen «^ 

 säuinitlicli i^leicli Nvül, so ist die Anzahl der Maxinia und Minima, 

 durch welche die Anzahl der Glieder auf" der rechten Seite der 

 Gleichung- (Kj bestimmt wird, für jede der Functionen: 



(j(x), (/"(x), g^^\x), . . . f-"'--\x) , 

 d. h. also für jede der Reihen: 



k = <x> 



V , ,*^,/ Cos 2kxTr (A=i ,2,.../«) 



n', (2A-7rr 



nicht grösser als für die vorhergehende. Dies ist für den Fall der 

 PoissoN"sclien Formel, d. h. für den Fall, dass sämmtliche Grössen o^ 

 einander gleich sind, zuerst von Hrn. Malmsten in seiner oben citirten 

 Abhandlung entwickelt worden, und es ist auch für den allgemeineren 

 Fall in derselben Weise, wie dort, zu erschliessen. 



Wenn nämlich (/'^*'{ar) innerhalb des Intervalls von x =^ o bis 

 d? =: I genau u Maxima und Minima hat, so hat (/'-*"'* (.r) in eben 

 diesem Intervalle genau (W Nullstellen. Die Function y-''""'*(x) hat also, 

 da sie auch an den beiden Grenzen des Intervalls verschwindet, inner- 

 halb dieses Intervalls mindestens u. + i Maxima oder Minima. Die 

 Derivirte g^'''~-\x) hat demzufolge eine gleiche Anzahl Nullstellen 

 und daher wiederum mindestens ju Maxima und Minima, d. h. also 

 mindestens eljenso viele als für die Function (/'"*' (x) vorau.sgesetzt 

 worden sind. 



XIII. Von besonderem Interesse ist auch der specielle Fall, wo 

 ausser den Grössen i\. noch eine Anzahl von den ersten Grössen a, 

 z. B. a,,a^, . . . (i,_, gleich Nidl sind, die folgenden Grössen a aber 

 sämmtlich einen und denselben von Null verschiedenen Werth haben. 



Nimmt man nämlich in der mit (S') bezeichneten allgemeinen 

 Summenformel des art. VII: 



71 = 2711 , l\ =: L\ ^ . . . =^ O , 



o, ^ a, = . . . = a,_, = o. 



so wird : 





, --J" 2 cos 2kx- 



,„,, , *'^' , sin(2S— i)a;7r 

 '(— a;) = > cos 2/>-x~ = 



(Ä = . , : 



