1046 Sitziinf;- der ]ihysikaliscli - inallieinatischen Classe vom 26. November. 



wolclic nur eine logavitliniischo Umgestaltung der er.sten jener beiden 

 Formeln des art. IV, nämlieli der dort mit (^) Lezeiclmeten Gleichung, 

 ist. Da mm in der Ilerleitung eben dieser Gleichung (^) — wie im 

 art. V erwähnt worden — das C'iiarakteristische des dritten GAUss'schen 

 Beweises bestellt, so enthüllt sich hiennit in überraschender Weise 

 die eigentliche innere Beziehung jener lieiden. von demselben Lemma 

 ausgehenden GAUSs'schen Beweismethoden und auch der wahre Grund 

 dafiir, dass die letztere der beiden Methoden sich bei der obigen 

 Analyse (vergl. art'. V) als die sachlich einfachste erwiesen hat. Lidem 

 nämlich beim tTljorgang zu den Logarithmen die Produettbrmel (il) 

 sich auf eine Additionsformel {^') reducirt, können sicli auch die zur 

 Veriflcation dienenden Mittel entsprechend veremfachen. 



Will man, auf eine solche Vereinfachung verzichtend, sich genau 

 derselben Mittel für die Verilication der Formel (^') bedienen, welche 

 zum Beweise der Formel (^) angewendet werden, so hat man nur in 

 jeder einzelnen Gleichung, die im art. IV bei der Herleitmig der Product- 

 formel (^) vorkommt, den Übergang zu den Logaritlunen zu machen. 

 Auf diese Weise resulth-t aus der Gleiclumg ((5) des art. II, mit Hülfe 

 der Congnienz (9^), die Formel: 



(0) — logsgn.R(f/) = |X(i — sgn.(y^ — o)) (mod. 2) (g= 1,2,^,...) , 



in welcher die Summation rechts wenigstens bis zu der Zalil ff = [20] 

 zu erstrecken ist. Gemäss dieser Formel, welche sich auch leicht direct 

 verificiren lässt, ist: 



^logsgn.R(^U|2(-«.--(^--)) ^^=- 



.n — 1 ) . 



Werden nun, wie im art. IV, die gradcii und die ungraden Werthe 

 von ff gesondert, die ehien mit 2k, die anderen mit 7i— 2k bezeichnet, 

 und die Glieder mit graden Werthen von ff negativ genommen, so kommt: 



(«P) Alogsgn.Rj— W|2sgii-(-+-- M-t2«S"-( ^1 Unod.2). 



(/; = I , 2 , . . . I (« - I )) 



nso wird: 



logsgn.Rl— W|Xs8""-(^ + ^"~|-tX'*§"-( ' ) (mod. 2), 



(A=,,2,...i-(m-,)) 



und durch Addition der Formehi (^) und (ü) entsteht die Gongruenz: 

 logsgn.nRJ — |nR| — |=^sgn. ('+- — - )=^(m — i)(H-i) {mod.2), 



Ebenso wird 



(0) 



