Kronkcker: Die absolut kleinsten Reste reeller Grössen. 1047 



durch welche ofi'enbar das Reciprocitätsgesetz für die quadi'atischen 

 Reste ausgedrückt wird. Dieses ergieht sich also hier durch eine 

 »logarithmische Umgestaltung« des diitten GAUss'schen Be- 

 weises. Denn ebenso wie es bei diesem dritten Beweise vmmittelbar 

 aus der Formel: 



sgn.R — | = sgn.n -H (^.^i ,2,...|(n-i)) 



\in j ' * \m nj \)n n 2 j 



residtirt (vergl. art. IV), so folgt es hier aus der Congruenz: 

 -^log.sgn. R ( --- ) = jVsgn. ( - H -\- \^sg\i. ( ) (mod. 2) , 



(^•= 1,2,... {(«-!)) 



welche oben mit (^) bezeichnet ist. 



Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Congruenz stellt den 

 tiberschuss der Anzahl der positiven Werthe von: 



h k \ , , ^ 



1 (t=I,2,...-(rt — l)) 



m n 2 

 über die Anzahl der positiven Werthe von: 



h k , , , 



(i=,,2,...|(n-i)) 



m n 



hn 

 dar. Die erstere Anzahl wird offenbar durch die dem Bruche — 



711 



[hn\ 

 — 



gegeben; jener Überschuss ist also gleich: 



sgn. R 

 und also, gemäss der Relation (51), in der That dem Werthe von: 



—. log sgn. R 



in 



nach dem Modid 2 congruent. Die Congruenz (^) ist hiermit dii-ect 

 arithmetisch erwiesen. 



VIII. 



Ein Beweis des Reciprocitätsgesetzes, welcher von Hrn. A. CxENOccm 

 schon im November 1852 der Brüsseler Akademie üben-eicht, bald darauf 

 in deren Abhandlungen publicirt und neulich wieder in Erinnerung 



