1048 Sit/.iing der jiliysik.iliscli -mntlieiii;itis<'liiMi f'liissf» vom 2ß. Novemher. 



gebracht worden ist," geht daAon aus. dass der Ülierschiiss der An- 

 zahl der positiven Werthe von: 



h k i i , 



-H + (*z=,,Z,...^(»-.)) 



m n 2 2mn 

 \\\wY die Anzahl der positiven Werthe von: 



h k , , ^ 



m n 



gleich -^1 I — sgn.RJ — 1 j ist. Es -wird dies a. a. 0. nachgewiesen niid 



die obige CongTuenz (Ä') daraus erscldossen. 



Um diesen GrENOccHi'schen Beweis zu analysu-en. bemerke ich 



zuvörderst, dass für positive Werthe von — | 1 offenbar auch 



m n 2 irfm 



h k i 



1 ijositiv ist. Jene Grundlage des GENOccnfschen Beweises 



m n 2 



kann also durch die Fonnel: 



'«' <•— e))-^?-•(^^-i)-?-(^^) 



(A-=i,2,... j(n-i)). 



ausgedrückt werden, welche am Schlüsse des art. YII auf kürzestem 

 W^ege hergeleitet worden ist, und aus welcher sich die oben mit (^') 

 bezeichnete Congruenz : 



tX( I ~ «?»• R (~) ) + v2( ' ' ^8"»- ^ (~) ) ^7 1"' - I ) (« - I ) (uiod. 2 ) 



(/.= I,2,...^(Hi — l): k:^ I ,2,...~(n — \)) 



unmittelbar ergiebt. Für den IModul 2 sind aber die Werthe von: 



^ I I — sgn. R 1^1), — T log sgn. R ( — ) 



einander congruent; die GENOCcm'sche Beweismethode kommt dnher 

 mit jener, welche im art. VII entwickelt worden ist, völlig überein, 

 imd sie ist daher selbst als eine «logarithmische Umgestaltung« des 

 dritten GAUss'schen Beweises zu charakterisiren. 



Da fiir den Beweis des Recipi'ocitätsgesetzes nur der nach dem 



Modul 2 genommene Congruenzwerth von ^1 • — sgn.RI — 1 j in Betracht 



' Coinptes Uendus des Si'ances de TAcadeniie des Sciences, Tome qo |>. 300. 

 Siiance du iG lövrier 1880; Tome 101, p. 423. Scaiice du 10 .aoftt 1885. 



