Kronecker: Die absolut kleinsten Reste reeller Gi'össen. 1049 



kommt, so kann die Grundlage des GENOccHi"schen Beweises — el)euso 

 wie durch die Clleiclrnng (9{) — auch dm-ch die Congi-uenz: 



m Alogsgn.Rf^U±2sgn.(^+---U|2«§-(^-^) (--^- ^-)' 

 TT* " * \7nJ -T \?n n i) -f \m. n) 



(^■ = I , 2 , . . . — (n — I )) 



dargestellt werden. Diese Congruenz resulth-t aber unmittelhar aus 

 den EiSENSTEiN'schen Entwickelungen , wenn man in der daraus hervor- 

 gehenden Gleichung : ' 



[ hn\ ihniT [ ili-K . iln:\ 



sgn. R I — I = sgn. sin = sgn 11 1 sm sm I 



^ \m ) m k \ n m ) 



jeden Factor: 



durch das Product: 



sin 



(A- =; I , 2 , . . . — (n — I )) 



2Ä'7r iJlTT 



sin sin 



n m 



[Im k7r\ fhiz krr 7r\ 



sin — + 



y^ m n ) \ m n 2 J 



ersetzt und alsdann zu den Logarithmen übergeht. Doch hat, wie 

 ich hinzufügen muss, Hr. GENOCcm die Grandlage seines Beweises 

 keineswegs den EiSENSTEm'schen Entwickelungen entnommen, sondern 

 unabhängig von diesen — die ihm zur Zeit der Redaction seiner 

 Abhandlung noch unbekannt waren" — auf rein aritlmietischem Wege 

 selbständig gefimden. 



Ich bemerke noch, dass mich Hi'. Stekn auf eine Formel auf- 

 merksam gemacht hat, welche er im 59. Bande des Journals für 

 Mathematik (S. 154, letzte Zeile) hergeleitet hat, imd welche in dem 

 speciellen Falle, wo n Primzahl ist, mit der am Schlüsse des art. VI 

 hervorgehobenen Foiniel genau übereinstimmt. 



' Journal für Mathematik Bd. 29, S. 178 und 179. 



^ Vergl. den Schluss der GENoccHrsclien Mittheiliing in den Coniptes Rendiis 

 vom 10. Auaust 1881;. 



