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Zu Lindemann's Abhandlung: „Über die 

 LuDOLPH'sche Zahl". 



Von K. Weierstrass. 



(Vorgetragen am 22. October [s. oben S. 919].) 



Für die Ergebnisse der in der genannten Abhandlung' mitgetheilten 

 Untersuclmngen des Hrn. Lindemann, namentlich für den darin ent- 

 haltenen, bis dahin vergebens erstrebten Beweis, dass die Zahl tt keine 

 algebraische Zalil und somit die Quadratur des Kreises auf construc- 

 tivem Wege unausführbar ist, hat sich in den weitesten Ki'eisen ein so 

 lebhaftes Interesse kundgegeben, dass ich glaube, es werde eine mög- 

 lichst elementar gehaltene , nur auf allbekannte Sätze sich stützende Be- 

 gründung der LiNDEMANN'schen Theoreme, wie ich sie im Nachstehenden 

 zu gel)en versuche, zahlreichen Mathematikern willkommen sein." 



' Diese Abhandlung, deren Inhalt durch die Überschrift nur unvollständig an- 

 gegeben wird, ist von mir am 22. Juni 1882 der Akademie vorgelegt worden und 

 bald darauf etwas weiter ausgeführt auch in den "Mathematischen Annalen» (Bd. XX) 

 erschienen. 



^ Ich bemerke ausdrücklich, dass die Veröffentlichung dieses im Sommer 1882 

 entstandenen und seinem wesentlichen Inhalte nach am 26. October desselben Jahres 

 in der Akademie vorgetragenen Aufsatzes im Einverständnisse mit Hrn. Lindemann er- 

 folgt, und dass ich damit nur bezwecke, die von demselben gegebenen oder ange- 

 deuteten Beweise seiner Sätze ohne wesentliche Modification der leitenden Grund- 

 gedanken zu vereinfachen und zu vervollständigen. Das erstere erreiche ich hauptsächlich 

 dadurch, dass ich nicht, wie Hr. Linuemann es thut, bei dem Leser die vollständige 

 Kenntniss des Inhalts der berühmten HERMiTE'schen Abhandlung »Sur la fonction 

 exponentielle» (Comjjt. rend. 1873) voraussetze, sondern aus derselben niu- die ]\Ie- 

 thode zur Herleitnng des in §. i unter Nr. VI aufgestellten Hülfssatzes entnehme. 



Der Aufsatz ist übrigens im Manuscript mehreren befreundeten Mathematikern 

 mitgetheilt und dann unter Benutzung der Bemerkungen, die mir einige von ihnen 

 haben zukommen lassen, lungearbeitet worden. Namentlich hat mir Hr. H. A. Schwarz 

 verschiedene redactionelle Änderungen vorgeschlagen , auf die ich gern eingegangen bin. 

 Besonderen Dank schulde ich ferner Hrn. Dedekinu für eine auf den Beweis des im 

 .\nfange des §. t, aufgestellten Hülfssatzes sich beziehende Mittheilung, durch welche 

 es mir möglich geworden ist, diesen Beweis wesentlich zu vereinfachen. 



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