Weierstrass: Zu Lindemann's Abhandl. : Tber die Li'DOLPH'sche Zahl. 1 069 



f(z) e-'dz, 



Aus diesen (in + i ) Crleichinigen ergielit sich . wenn man sie durcli 

 Addition mit einander vereinigt: 



m ! ^^ I (m — fj.)\ \ 



Die Coefficienten der Functionen [; , X\ sind, wie aus der Formel (i) 

 unmittelbar erhellt, ganze Zahlen: die Coetficienten der durch die 

 (Tleichung (3) definirten Function (t(-) also ganze lineare Functionen 

 der Grössen />„ . b, . . . . h, mit ganzzahligen Coefficienten. Demgemäss 

 lehren die Formeln (7). dass jede der Functionen Haiz) , H^iz) , . . . H„,{z) 

 eine ganze Function der Gi'össen 



c.f/o,ff, , . . .«„+,, Co, c-,, • ■ ■(■„ 



mit ganzzahligen Coefficienten ist. 



III. Die im Vorstehenden definirte Function H,„{z) ist 

 niemals durch die Function /(-) tlieilhar. ausgenommen in 

 dem Falle, wo die Grössen c^, r, . . . . c,, sämmtlich den VVerth 



Null haben und somit jede der Functionen Ho(z) . H,{z) H,„(z) 



sich für jeden Werth von z auf Null reducirt. 



Es werde gesetzt 



so ist [nach Gleichung (11)] 



- dJI,„(z) h{z) '" 



Hr,{z) -j — = — r/(~) • 



dz m ! 



Wenn daher die Coefficienten der Fimction h(z) nicht sämmtlich 

 den VVerth Null haben, so ist //„,(;) eine ganze Function von z. die 

 nicht tur jeden Werth dieser Grösse verschwindet und deren Grad 

 (nach 1.) niclit grösser ist als /«(« -|- i) + // = (w + i) (// + 1) — 1 . Be- 

 zeichnet man al.so mit p + i die kleinste positive ganze Zahl, für welche 



H,„(z) nicht durch f{z) theilbar ist. und setzt 



