Weierstrass : Zu Lindemann's Ahhandl.: llher die LuDOLPn'sche Zahl. 1071 



und die übrigen der Grössen €„,(-,,... c,, sämmtlich gleich Null an- 

 nimmt, so hat man 



{i6) g{z , m) = X c.,.y,{z .m) , 



und es gehen aus der Gleichung (15) die folgenden (ii + i) Gleichungen 

 hervor : 



, , c^\<-'mT _-. 



(17) cj^X: ,m)>'-' -9A= ,'>n)e-' = -I — e 'dz. (-=0,.,..«) 



Die Fiuictionen g,,(z , m) sind ganze Functionen der Grössen 

 z . (i„ .(/,.... (/„_,_ I mit ganzzahligen Coefficienten. Bezeichnet man 

 ferner mit (t,,(c . w/) die Function, in welche G(z , i/i) durch die 

 Annahme 



h{z) = 5" 

 ühergeht. so ist 



i G{z . 711) = X (\,G,{z , )n), 

 <<"-'i7„,(^) =f{z) i r„G,.(z , m) + X r,.cj,[z , m) , 



1< = I' = 



und es ergiel)t sich aus der letzten Gleiclmng. da H^(z) (nach III.) 

 nur dann durch f{z) theil1)ar ist, wenn die (xrössen r,, sämmtlicli ver- 

 schwinden, dass der Ausdruck 



^2^r„5'„(c , m) 



nur dann für jeden Werth von z gleich Null ist, wenn jede der 

 Gr()sscn e^ . r, . . . . r-„ den Werth Null hat — mit anderen Worten, 

 dass unter den in den Gleichungen (17) vorkommenden (n + i) 

 ganzen Functionen von c 



gjz . /ii) , g,(z . m) . . . .gjz , m) 

 für keinen Werth von 111 eine lineare Abhängigkeit statt- 

 findet. 



Aus dieser Eigenschaft der Functionen g,, (z . ni) ergiebt sich ferner : 

 Giebt man der Grösse z irgend (u + i) bestimmte Werthe 



Zg , Z^ , . . . Z„, 



unter denen keine zwei gleiche sich finden, so hat die De- 

 terminante 



I g„(z-, , in) I (A. i' = o , I. . . . h) 



stets einen von Null verschiedenen Werth. 



Wäre nämlich diese Determinante gleich Null, so würden sich 



(/< -^ 1) Grössen r^ . r r-,, .so bestimmen lassen, dass die (// + 1) 



Gleichmigen 



i <;.g„(^-,, . m) = o (>.=o, 1,...«) 



