Weieestrass : Zu Lindemann's Abhandl. ; Über die LuDOLPn'sche Zahl. 1 / o 



oben (IV.) Bemerkten, für jeden Wertli der Zahl in auch die C'oefficienten 

 der Funetionen g,\z, in) .sämmtlich s'ai^ze Zahlen. Man kann ferner, wenn 

 z^,z^,...z„ die Wurzeln der Gdeicliung/(c) = o sind, den Gleichunaren ( 1 9) 

 gemäss m so gross annehmen, dass jede der Diiferenzen 



z A = 0, 1, . . . n\ 



g, {z^ , m) e' -y„ (c, , m) e° \ ,.= o, i . . . . « j 



ihrem absoluten Betrage nach kleiner ist, als eine belieljig klein ange- 

 nommene positive Grösse Ä. Zugleich hat dami flie Determinante 



I gv (->. : ■>") I (A , 1/ = o , I .../*) 

 einen von Null verschiedenen Werth, indem unter den Grössen 

 Cq.c,, . . .c„ keine zwei gleiche sich finden. 



Damit ist ein Satz bewiesen, der im Folgenden hauptsächlich 

 zur Begründmig der LraDEMANisr'schen Theoreme dienen wird und sich 

 so auspi-echen lässt: 



»Es sei f{z) eine ganze Function {n -^ i) Grades der Veränder- 

 lichen z mit gegebenen ganzzahligen Coefficienten , ilie so beschaffen 

 sind, dass die Gleichung 



f{z) = o 



(// + i) von einander verschiedene Wiu'zeln hat. welche mit 



z„ , z^ , . . . z„ 

 bezeichnet werden mögen. Alsdann lässt sich, nach Annahme einer 

 beliebig kleinen positiven Grösse ^, auf manigfaltige Weise ein System 

 von {n + i) ganzen Functionen 



9o (-) ,9A^) ■ ■ ■ ■ 9„ (-) 

 des Arguments ~ von nicht höherem als dem nten Grade, deren 

 Coefficienten sämmtüch ganze Zahlen sind, so bestimmen, dass 

 erstens jede der Differenzen 



:-, Zo Ck — 0,1 n\ 



gA^o)<i —gA^xle \v=o,i,...n) 



ilirem absoluten Betrage nach kleiner als S ist, und zweitens die 

 Detenninante 



gA^M (A. v ^ o. !,...■/<) 



einen von Null verscliiedenen Werth liat. « 



§• 2. 

 Beweis, dass die LuDOLPn'sche Zahl tt eine transcendente 



Zahl ist. 

 Da f>'"'=^ — I ist und die Function e''' nur für solche Werthe 

 ihres Argimients, welche (ungrade) Vielfache von Tri sind, den Werth 

 — I annhnmt. so kann dem zu beweisenden Satze der folgende 

 substituirt werden : 



