Weierstrass: Zu I,indemann"s Abliandl. : Über die LuDOLpn'sche Zahl. 1 < 5 



kann man, unter z eine unhestimnite G^rösse verstehend, eine .^-anze 

 Function /(j) vom tirrade n -\- i herstellen, welche nur ^-anzzahUaje 

 C'oet'ficienten hat und für 2^ = ~^, -,,... ^„ verschwindet. Es kann 

 nämlich das Product 



dargestellt werden als ganze Function der (Irössen c . ^, , ^^ , . . . ^,. 

 mit ganzzahhgen Coefficienten . welche sich nicht ändert, wenn die 

 Grössen ^i , ^^ , ■ ■ ■ ^r "i beliehiger Weise permutirt werden, und sich 

 somit, wenn man für ^, . ^, . . . . ^,. die Wurzeln einer Gleichung rten 

 Grades mit lauter rationalen Zahlcoefficienten einsetzt, in eine ganze 

 Function /»ten Grades von c mit el>en solchen Coefficienten verwandelt. 



Es lässt sich also \\ {z — z^) als ganze Function von z mit lauter 



rationalen ZaMcoefficienten darstellen; dividii't man tliese Function 

 dann durch den grössten Theiler, den sie mit ihrer ersten Ahleitung 

 gemein hat, so ist der Quotient eine ganze Fmiction (rt+[)ten Grades 

 von z, aus der man, indem man sie mit einer passenden ganzen Zahl 

 multiplicirt , eine Function 



/(2) = 0'„2"+' + O,^"+ ...+«, 



+ 1 



erhält, welche lauter ganzzahlige Coefficienten hat und fiir z^Za,z^,...z,^ 

 verschwindet. 



Nachdem diese Function f{z) hergestellt worden, kann man aus 

 Uu-, nach Annahme einer T)eliebig kleinen po.sitiven Grösse <5~, ein 

 System von n + i ganzen Functionen 



von der im ScUusssatz (VI.) des vorigen Paragraphen angegebenen 

 Beschaffenheit ableiten, so dass, wenn man 



,„(o)/^-,„(..)=.„„^ (:=:;;;::;;;) 



setzt, jede der Grössen £,,,, ihrem absoluten Betrage nach kleiner 

 als I ist. 



Die Grössen g,,{z,) sind sämmtlich algebraische Zahlen; multiplicirt 

 man jede derselben mit al, so verwandeln sie sich alle m ganze 

 algebraische Zahlen.' 



' Nach der von Hin. Kronecker eingelulirten Terminologie heisst eine Gvös.se j 

 eine algebraische Zahl, wenn sie einer algebraischen Gleichung von der Foini 



.r + ^,x'— ' + . . . + ^„ = o. 

 in der die Coefficienten A^ , . . . A, .sämmtlich rationale Zahlen sind, genügt. Sind 

 insbesondere diese Coefficienten sämmtlich ganze Zahlen, so wird x eine ganze 



