Weierstrass: Zu Lindemann's Abhandl.: Über die LuDOLPn'sche Zahl. 1077 



Daraus folgt unmittelbar, dass das Product 



und somit auch jeder einzelne Factor desselben einen von Null ver- 

 schiedenen Werth hat; w. z. b. w. 



Damit ist, dem oben Bemerkten gemäss, dargethan, dass die 

 Zahl TT/' und daher auch tt selbst eine transcendente Zahl ist. 



Als ein Corollar zu diesem Satze ergiebt sich, dass die «Qua- 

 dratur des Kreises« eine unlösbare Aufgabe ist, wenn ver- 

 langt wird, dass sie durch eine geometrische Construction, 

 bei der nur alge])raische Curven und Flächen zur Anwendung 

 kommen, bewerkstelligt werde. (Vergl. den Schlusssatz des §. 3) 



S- 3- 



Allgemeinere, auf die Exponentialfunction sich 



beziehende Sätze. 



I. Zmiächt ist der folgende Hülfssatz zu beweisen. Es seien 

 gegeben ^ -f i Reihen von je r Cxrössen: 



(i) a; , ä, , . . .ä, 



(2) A" , A': , . ..A'; 



{k) ^<*', Af , ...4'-' 



(A + I ) Xj , X^ , . . . X, . 



wobei angenommen werde, dass in jeder der k ersten Reihen wenigstens 

 eine Grösse vorkonune, die einen von Null verschiedenen Werth 

 hat, und in der letzten Reihe keine zwei gleiche Grössen sich finden. 

 Man bilde das Product 



2 Ay" . i </^ . . . i ^f*'/f 



a=i b=i f=i 



mid bringe dasselbe, welches mit P bezeichnet werde, auf die Form' 



P= X Ä„A[: . ..A\'^A + -''^' + -\ (a,b,...f=i,...r) 



a.b....{ 



' Es ist nothwendig. dass bei dieser Umformung von P das Argument der Ex- 

 ponentialgrösse , durch welche das Product aus den Factoren 



A , /s . . . «""f 



dargestellt wird, gleich .r,-, + xi, + . . . + Xf genommen werde, luid nicht etwa, was 

 an sicii gestattet wäre, gleich dieser Summe plus einem Vielfachen von 2m. Ohne diese 

 Festsetzung würden die im Folgenden einzuführenden Grössen Q. nicht gehörig be- 

 stimmt sein. 



