Weiebstrass: Zu Linuemann's Ahhanfll. : Über die LuDoLPH'sche Zahl. 1 / 9 

 {x^ + Xt, + ... + Xt) — {x„ + Xi + . . . +xj = (.r,— xj + {Xi, — Xi) + . . . + {x,—x,) 



eine positive Grösse und somit {x^ + x^, + . . . + Xf) nicht ,£>leich 

 (x^ + Xg + . . . -\- x^). Es findet sich also unter den Gliedern 



7lX...^r/'' + -''^ + ■•• + ■'■' 



keines, in welchem das Argument der Exponentialgrösse denselben 

 Wertli hätte, wie in dem Gliede 



X^;...iSf'A + "^ + - + ^''; 



der Coefficient des letzteren ist also eine der Grössen Q, 

 unter denen sich hiernach unter allen Umständen eine findet, 

 welche nicht gleich Null ist.' 



n. Nunmehr seien, wie in §. 2. x,.x^_... . x,. die Wurzeln einer 

 Gleichung rten Grades 



x'' + c,x'~' + ... + (■, = o , 



deren Coefficienten .sännntlich gegel)ene rationale Zahlen sind, und 

 deren Discrinünante eLiien von Null verschiedenen W erth liat. Fcn-ner 

 sei^n iV, , iVj , . . . iV,. gegebene ganze Zahlen, unter denen wenigstens 

 eine nicht gleich Null ist. Dann lässt sich beweisen, dass die 

 Summe 



?=. ' ■ 



niemals den Werth Null hat. 



Man bezeichne die Grössen, welche aus der vorstehenden Summe 

 dadurch hervorgehen , dass man in derselben die Grössen x, , . . . Xr 

 auf jede mögliche Weise pennutirt, mit 



X',X", . . .Z'*', 



wo k ^ r\ ist. so hat. wenn n irgend eine der Zahlen i, 2 , . . . ^ 

 bedeutet. A'"* die Form 



X"" = 2 iV'"' /^ . 



wo die Reihe der Zahlen ]Vl"\ iVf, . . . iV,!"' aus der Reihe N,,N,,...N, 

 durch eine bestimmte Permutation der Glieder der letzteren hervor- 

 geht. Setzt man dann 



p=nA'"', 



' Da.ss man in der Reihe der Grösse Co , C, , . . . C. eine, die nicht gleich Null 

 ist, (ihne Weiteres auf die angegebene Weise ermitteln könne, wenn man die Grössen 

 j-i,...j-r s(i aui" einander folgen lässt. dass die Differenzen x^ — X2.X2 — x^,...i;,—i — .r,, 

 sämmtlich positive Werthi; (in dem festgesetzten Sinne) erhalten, ist eine Bemerkung, 

 die ich Hrn. Dedekind verdanke. 



