Weierstrass: Zu Lindemann's Abhantll.: Über die LuDOLPH'sche Zahl. 1 081 



gesetzt wird, jede der Grössen e,,,, ihrem absoluten Betrage nach 

 kleiner als i ist. Dann ergiebt sich aus dem obigen Ausdrucke der 

 Grösse P 



/, " O X = 



Hier ist nun jede der Grössen aly,,{z^ eine ganze algebraische 

 Zahl; es lässt sich aber zeigen, dass jede der (« + Simimen 



2 C,alg,.{z,) 



eine ganze rationale Zahl, d. h. also eine ganze Zahl im gewöhn- 

 lichen Sinne ist. 



Verstellt man wieder unter z , ^^, r^, . . . ^^ von einander unab- 

 hängige Veränderüche , so ist das Product 



XXe^'^-kNi'e^» . . . 2i\7*V^' 



= 1 b = i f = i 



und somit auch die Simime 



2 fiK. . . Nt^e^' + £, + ... + £, („, b, ... t =.,,... r) 



eine symmetrische Function von ^,,^2, ■ ■ ■ ^r- Entwickelt man 

 dieselbe in eine Potenzreihe von ^, , ^2 , . . • ^^ » so ist die Summe der 

 Glieder mter Dimension dieser Reihe, nämlich 



-^ 5 KK. ..NtH^, + ^,+ ... + ^,r, (a,B,...t=,,...r) 

 in !a,b,..f 



und daher auch, wenn g{z) eine behebige ganze Function von z ist, 



jN:X'...N^'>gi^^ + ^,+ ...+^,) (a,b....t = r) 



eine symmetrische ganze rationale Function der Grössen ^, , ^2 j • • ■ ^r- Die 

 letztere erhält also, wenn man (füi- v = o , 1 , . . . 7i) g{z)^^g^,{^) annimmt 

 imd ^, = X, , ^2= ^2 » ■ • ■ ^r^= ^r setzt, einen rationalen Werth, der sich 

 dm'ch Multiplication mit al in eine ganze Zahl verwandelt. Es ist 

 aber nach dem Obigen, füi* jeden bestimmten Werth von A 



(6) C,,= 2' KNl'.-.^T, 



wenn die Summation über diejenigen Zahlensysteme, für welche 

 a;^ -f jTj, + . . . + ^t = 2). ist , erstreckt wird , und daher 



(7) %C,algAz,) =^^XN:n:. . . iV<*'<^„{^. + ^, + . . . + ^r,) , 



also auch S C;alg,,{Z;) eine ganze rationale Zahl. 



>. = 



Es lässt sich aber auch zeigen, dass diese Zahl wenigstens fiir 

 einen Werth von v einen von Null verschiedenen Werth hat. Da 



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