1082 Gesamintsitzung vom 3. Decemher. — Mitllieilnng vom 22. October. 



nänilicli die Grössen C^ (nach I.) nicht sämmtlich gleich Null sind, so 

 müsste , wenn alle {n + i) Zahlen 



2; C>,algX2>) (" = 0, n) 



den Werth NuU hätten, die Detemiinante 



\9A^>)\ (X, v = o, i , . . .n) 



gleich Nidl sein, was nicht der Fall ist. 



Nimmt man also die Grösse (^ so klein an, dass jede der Grössen 



ale~'°8 X £>„„C, (,. = 0, !,...«) 



dem absoluten Betrage nach kleiner als i ist, so findet sich unter den 

 Grössen auf der Rechten der Gleichungen (5) wenigstens eine, die 

 nicht gleich Null ist; woraus sich unmittelbar ergiebt, dass das Pro- 

 duct P, und somit auch die Grösse 



2 N/^ , 

 ?=■ ^ 



welche ein Factor dieses Productes ist, einen von Null ver- 

 schiedenen Werth hat; was zu beweisen war. 



SelbstverständUch gilt dieser Satz auch , wenn unter N, , N,, . . . N^ 

 rationale Zahlen verstanden werden. 



Nimmt man für x^, x^, . . . x^ irgend r von einander verschiedene 

 ganze Zahlen an, so ergiebt sich als ein besonderer Fall des vor- 

 stehenden Theorems der von Hermite bewiesene Satz, dass die Zahl e 

 keine algebraische Zahl ist. 



Eine nahehegende Verallgemeinerung des Theorems ergiebt sich 

 folgendermaassen : 



Sind X, , x^, . . . X,. irgend ;• gegebene , von einander verschiedene 

 algebraische Zahleia, so lässt sich stets eine algebraische Gleichung — 

 im Allgemeinen von höherem als dem rten Grade — mit lauter 

 rationalen Zahlcoefficienten und nicht verschwindender Detenninante 

 herstellen , unter deren Wurzeln die gegebenen Grössen x,, x^, . . .x,. sich 

 finden. Ist der Grad dieser Gleichung gleich r, so smd x,, x^, . . . x,. 

 solche r Grös.sen, f\lr welche das bewiesene Theorem unmittelbar gilt. 

 Hat die Gleichung aber ausser x, , x^, . . . x, noch / andere Wurzeln : 



und werden unter i\^, , iV^, . . . N,^, rationale Zahlen verstanden, so ist 



?=■ * 

 um- in dem Falle gleich Null, wo Ni, N^, . . . lYr+t sämmthch den 



