1084 Gesamnitsit/.ung; vom 3. Deceinber. — Mittheilung vom 22. October. 



WO die Grössen Za,z,, . . .z„ also von einander verschiedene algebraische 

 Zahlen sind, die Q, C, , . . . C„ aber zunächst als symmetrische ganze 

 Functionen von ^, ^', . . . ^**~" mit lauter rationalen Zahlcoef'ficienten 

 und sodann sämmtlich als rationale Zahlen dargestellt werden kömien. 

 Da nun Q, C, , . . . C„ nicht sämmtlich gleich Null sind, so hat nach 

 dem Schlusssatze von (11.) die Grösse 



x — o 



unter den in Betreff der Grössen X^ , X, , . . . X^ , Xi , x, , . . . x, ge- 

 machten Voraussetzungen einen von Null verscliiedenen Werth. Das- 

 selbe gilt also auch von dem Producte P und somit auch von dem 

 Ausdrucke 



% x/^ = i G,(;)/? , 



der ein Factor des Productes ist. 



Damit ist bewiesen: 



»Werden unter x^,x^, . . . x, irgend r von einander ver- 

 schiedene, unter X^,X^,...X^ aber beliebige algebraische Zahlen 

 verstanden, so kann die Gleichung 



i x./e = 

 f=i « 



nur in dem Falle, wo X, ,X2,...X sämmtlich den Werth Null 

 haben, bestehen.« 



In diesem von Lindemann ohne ausgeführten Beweis aufgestellten 

 allgemeinen Satze finden die von Heemite begonnenen Untersuchungen 

 über die Exponentiah'unction ihren Abschluss. 



IV. Schliesslicb mögen noch einige, aus dem vorstehenden Theorem 

 unmittelbar sich ergebende specielle Sätze angeführt werden. 



Nimmt man r = 2 , X, = — i , a;, = o an und setzt x föi* x^ , 

 X fui" Xj, so ergiebt sich, dass die Gleichung (^ = X nicht bestehen 

 kann , wenn x , X beide algebraische Zahlen sind und zugleich x einen 

 von Null verschiedenen Werth hat. Daraus folgt: 



»Die Exponentialgrösse ^ ist stets eine transcendente Zahl, 

 wenn x eine von Null verschiedene algebraische Zahl ist.« 



»Der natürliche Logarithmus einer algeliraischen Zahl X ist 

 immer eine transcendente Zahl, wenn A' nicht den Werth i hat.« 



Diese beiden, von Lindemann besonders hervorgeliobenen Sätze 

 scheinen mir zu den schönsten Sätzen der Arithmetik zu gehören. 



Nimmt man ferner 



r = 3 , X, ^ i , Xj = — « , a^j = — 0", , aTj = o 



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