940 Gesamtsitzung ‘vom 20. Juli 1916. — Mitteilung vom 6. Juli 
Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, 
welche eine schlichte Abbildung des Einheits- 
kreises vermitteln. 
Von Prof. Dr. Lupwıs BieBERBACH 
in Frankfurt a. M. 
(Vorgelegt von Hrn. Frosenıus am 6. Juli 1916 [s. oben S. 775].) 
Di. Lösung des Problems, das ich hier behandeln will, erfordert nur 
die denkbar elementarsten Hilfsmittel. Trotzdem ist es wohl von großer 
prinzipieller Wichtigkeit. Ist es doch ein — wenn vielleicht auch 
nicht allzu großer — Schritt voran in dem Fragenkreis, der die Eigen- 
schaften einer Funktion in Zusammenhang bringt mit den Koeffizienten 
ihrer Potenzentwicklung. Es ist also eine Frage aus dem weiten Gebiet 
der Analysis der unendlich vielen Variablen, wie sie seit HApAamArDs 
grundlegender und, man darf wohl sagen, genialer These im Zug der 
Zeit liegen. 
Auch die Behandlung unserer speziellen Frage hat Vorläufer. Da 
ist eine Bemerkung von Hrn. Hurwırz in seinem Vortrag auf dem 
ersten Internationalen Mathematikerkongreß in Zürich! zu nennen. Dort 
wird zuerst die unten zu besprechende hinreichende Bedingung für 
schlichte Abbildung benutzt, um zu zeigen, daß auch die Umkehrungs- 
funktion der von FrepnorLm angegebenen nichtfortsetzbaren Potenzreihe 
eindeutig ist. Mit solehen Funktionen befaßt sich auch Hr. Ossoon” 
in zwei Arbeiten, deren zweite unter Vereinfachung der ersten auch 
dieselbe hinreichende Bedingung verwendet. Engmit unserem Gegenstand 
hängt eine interessante Arbeit von Hrn. CARATHEoDoRY in den Annales 
de la societe scientifique de Bruxelles® zusammen. Dort wird gezeigt, 
dal man die n ersten Koeffizienten der Potenzreihe „+ a, 2+qa,2° +... 
nur mit der einen selbstverständlichen Einschränkung a, =# 0 aber sonst 
beliebig vorgeben und dann noch die übrigen so bestimmen kann, daß 
! Siehe S. 109 der Verhandlungen (1898). 
® Bull. Am. math. soc. 1898. 
Bd. XXXVII, 2 (1913). 

