L. Bırperracn: Über die schlichte Abbildung des Einheitskreises 941 
der Konvergenzkreis der Potenzreihe durch die von ihr dargestellte 
Funktion auf ein schlichtes konvexes geradlinig begrenztes Polygon ab- 
gebildet wird. Der Unterschied gegen unseren Ansatz liegt haupt- 
sächlich darin, daß es sich dort um den Konvergenzkreis der Reihe 
handelt, während hier der abzubildende Kreis ein fester ist, der also 
eventuell nur einen Teil des Konvergenzkreises umfaßt. Dieser Unter- 
schied bringt es mit sich, daß sich in unserm Problem schon für die 
ersten Koeffizienten gewisse Bedingungen ergeben werden. Von ganz 
besonderer Bedeutung für unser Problem sind die öfters zu erwähnenden 
Verzerrungssätze Korses. Mit unserm Fragekreis hängt schließlich 
auch die Arbeit von Hrn. Frs£r in der Schwarzfestschrift zusammen. 
Ich führe nur eins der dort gewonnenen Resultate an. Eine in ihrem 
abgeschlossenen Konvergenzkreis stetige Potenzreihe konvergiert sicher 
dann im ganzen Kreis (einschließlich Rand) gleichmäßig. wenn die 
dureh sie vermittelte Abbildung eine schlichte ist. 
I. Abschnitt. Einige notwendige und einige hinreichende Bedingungen. 
$ı. Schlichte Abbildung von |z|>1. 
1 1 
Wenn die Potenzreihe +4, — + a +...—F(2) =w das 
Äußere des Einheitskreises schlicht abbilden soll, so muß jedenfalls 
der äußere Inhalt der Komplementärmenge des Bildgebietes positiv 
oder Null sein. Die Auswertung dieser Bemerkung wird uns eine 
notwendige Bedingung für die Koeffizienten liefern. Dabei wird sich 
gleichzeitig ergeben, daß der genannte Inhalt immer kleiner ist als 
der Inhalt des Einheitskreises selbst. Das wäre dann ein Satz analog 
dem, den ich in den Rendiconti del eircolo matematico di Palermo 
Bd. 38 (1914) S. 98ff. über den Inhalt schlichter Bildbereiche des Kreis- 
inneren gefunden habe. 
1 
Die Funktion 2-+«, — bildet bekanntlich den Kreis |2 | = R um- 
Er 
| 
kehrbar eindeutig auf eine Ellipse mit den Halbachsen R+]|«, an 
1 1 
und R-|a, 67 ab. Ihr Inhalt ist also -(®-1e B ) Die Funk- 
tion F(z) bildet denselben Kreis auf eine Kurve ab, die von der ge- 
l 1 
nannten Ellipse um weniger als | x, I + |; | Ri +, also auch 

um weniger als m absteht. m bedeutet dabei eine passende, von 
R unabhängige Zahl. Ziehe ich im Ellipsenäußeren im Abstande 
