L. Bıegersacn: Über die schlichte Abbildung des Einheitskreises 943 
selbe wird erhalten. wenn ieh vom Inhalt der Kurve ıw — F(Re‘”) den 
inneren Inhalt des Bildes abziehe, das F(z) vom Kreisring 1<|z|<R 
entwirft. Daher ist nach unserer Berechnung dieser äußere Inhalt 
jedenfalls kleiner als (1 - 35 n|«, 98 d. h. also jedenfalls kleiner 
als r. So haben wir Satz II: Ein beliebiger, einfach zusammenhängender 
Bereich, welcher den unendlich fernen Punkt im Inneren enthält, werde 
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durch eine Funktion, deren Entwicklung um z = co mit z+4,— +: be- 
ginnt, auf einen anderen schlichten Bereich abgebildet. Dann kann man 
diese Funktion so wählen, daß der Inhalt der Komplementärmenge des Bild- 
bereichs möglichst groß wird. 
Dies tritt einzig und allein für die Abbildung des Bereiches auf das 
Äußere eines Kreises ein. 
Aus diesem Satz kann man nun einen neuen mit dem FAgerschen 
nahe verwandten Beweis des Satzes ableiten, den ich kürzlich zuerst 
in den mathematischen Annalen’ bewiesen habe. Durch eine Betrachtung, 
die der in S2 der eben genannten Arbeit angestellten ganz analog ist, 
kann man nämlich die dort behandelte Frage auf den Beweis des 
folgenden Satzes reduzieren. 
Satz III: Falls ein von |w| > 1 verschiedener schliehter Bereich der w- 
Ebene den Punkt w — co enthält, und falls ihm keine zwei Punkte an- 
; : 1 : 
gehören, die durch die Transformation w' = — auseinander hervorgehen, 
w 
R : ? 1 7 h 
so wird er durch eine Funktion w = 2+@,— + ::: auf das Außere eines 
Kreises mit z — (0 als Mittelpunkt und einem Radius größer als Eins ab- 
gebildet. 
Der Satz ergibt sich aber unmittelbar aus unserem Satz II. Man 
hat dazu nur zu beachten, daß die Komplementärmenge des in Satz II 
genannten Bereiches einen größeren Inhalt als der Einheitskreis besitzt. 
Denn entweder hat der genannte Bereich keinen Punkt mit dem Inneren 
von |w|<1 gemein, dann ist unsere Behauptung evident, oder aber 
dies ist der Fall. Ist aber dann B irgend ein Gebiet, das der Bereich 
teilung Kenntnis erhalten hatte. Diese Untersuchungen erscheinen in den Münchener 
Sitzungsberichten von 1916 unter dem Titel: Neuer Beweis eines Korse-BirgerracH- 
schen Satzes über konforme Abbildung. 
! Biegersach, Über einige Extremalprobleme im Gebiet der konformen Ab- 
bildung. Math. Ann. Bd. 77 S. 153 fl. Auf S. 165 oben dieser Arbeit findet sich, wie mir 
kürzlich Hr. Pick mitgeteilt hat, ein Versehen. Ich will jedoch hier nicht näher darauf 
eingehen, da jener Beweis jetzt schon nur noch historisches Interesse besitzt im Hinbliek 
auf die einfachen nun bekannten neuen Beweise. Wenn sich auch mein Fehler ver- 
bessern läßt, so ist es doch das einfachste, die $$ 5—9 jener Arbeit durch die hier 
gegebene Herleitung zu ersetzen. 
