344 Gesamtsitzung vom 20. Juli 1916. — Mitteilung vom 6. Juli 
mit dem Inneren des Einheitskreises gemein hat, so muß wegen der 
bei Satz III gemachten Voraussetzung das durch die "Transformation 
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w' — — daraus zu erhaltende reziproke Gebiet außerhalb des Bereiches 
liegen. Dies letztgenannte Stück hat aber natürlich einen größeren 
Inhalt. Daraus ergibt sich, daß die Komplementärmenge unseres Be- 
reiches sicher einen größeren äußeren Inhalt hat als der Einheitskreis, 
und daraus folgt nach Satz II, daß der Kreis, auf dessen Äußeres man 
den Bereich durch eine der Funktionen von Satz II abbilden kann, 
einen größeren Radius als der Einheitskreis haben muß. 
$ 2. Schlichte Abbildungen von |2|<1. 
Wir beginnen mit dem folgenden Satz IV: Es gibt eine Folge von 
Zahlen r,,r,,::- derart, daß für jede Funktion f(2) = 2+ a,2°-:--, die 
das Innere des Einheitskreises auf einen schlichten endlichen‘ Bereich abbildet, 
stets | a,|<r, gilt. 
Das ist eine unmittelbare Folge eines’ der Verzerrungssätze des 
Hrn. Korse. Derselbe lautet: Wenn f(2) = 2+ a,2’+--- im Einheits- 
kreis konvergiert und denselben schlicht abbildet, so gibt es eine’für 
r<1 endliche von (2) unabhängige Funktion $(r), so daß | fire'®)| 
<p(r). Die Anwendung des Crucnvschen Koeffizientensatzes liefert 
dann hieraus unmittelbar unseren Satz. In Anbetracht der Länge des 
Beweises, den KoEBE für seinen Satz gegeben hat, ist es indessen besser, 
den Satz IV aus den Resultaten des vorigen Paragraphen heraus zu be- 
weisen’. Der Gedanke, der uns auf dies Ziel zuführen möge, ist dieser: 
Wenn f(2) für |2|<1 schlicht ist, so ist — — (2) tursal 
\; | 
schlieht, und seine Koeffizienten müssen die notwendigen Bedingungen 
des vorigen Paragraphen erfüllen. Wenn man F(z) ausrechnet, so 
möge man 
Be) 2 PERS ENIN I 
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finden. Darin ist allgemein «, von der Gestalt, —= a,+9(a,, @4,,-,4,_,)> 
wo 9(a,--- a,_,) eine ganze rationale Funktion seiner Argumente ist. 
Z.B. wird &, = aq,-@,, ferner &, = a,-2a,a,+a, usw. Die notwendige 
Bedingung des vorigen Paragraphen kann nun angewandt werden. Sie 
' D.h. unsere Potenzreihe soll für |z | <1 konvergieren. 
® Siehe dazu Math. Ann. Bd. 69 (1910), S. 48. 
Aus Satz IV läßt sich aber umgekehrt noch nieht der eben erwähnte Satz 
Koeses gewinnen. 
