L. Bıesersacn: Über die schlichte Abbildung des Einheitskreises 45 
liefert I, n|&.|’<1. Daraus kann man z. B. entnehmen, daß | @,- a; | <1 
usw.; aber unser Satz IV verlangt mehr. Wir können ihn aus der 
eben angestellten Betrachtung gewinnen, sowie es gelungen ist, eine 
Schranke für | a, | abzuleiten. Das gelingt durch einen von Hrn. FAREr' 
angegebenen Kunstgriff. Er beruht darauf, daß mit f(2) auch jede 
Vf) = w(t) eine schlichte Abbildung von Wi <1 vermittelt. Für 
wit) gilt aber die Entwicklung w(l) = t+ 50. E + Bilden wir nun 
wieder wie vorhin — — = Wh) =1t 
genannte notwendige Bedingung, daß auf alle Fälle m \@l2 =, d.h. 
AQ,— +: ::, 50 zeigt die mehr 
|. | <2 gilt, und außerdem merken wir uns gleich an, daß eben nach 
dieser Bedingung das Gleichheitszeichen nur stehen kann für die Funk- 
| 
tion W(t) = t- Be Diese geht aber durch die angegebene doppelte 
Transformation aus 
a = me PI7 Done "?2 
2ip 
hervor. Hier ist aber ersichtlich a, = 2e Setze ich 
== ar — > n2" B) 


so wird /(z) = = (e'*2). 
Bis auf Funktionen, die aus w — wer durch die eben ange- 
gebene triviale Umformung hervorgehen, ist also w — mer die ein- 
zige Funktion, für die |a,|=2 wird. In allen andern Fällen ist 
|®,|<2. Die so gefundene Schranke für |a, | ist zugleich, wie unser 
Beispiel zeigt, die genaue. Sie kann nicht mehr verkleinert werden. 
» 
Wie das Beispiel w — en (|#|<1) (und seine trivialen Trans- 
42 u 
abs 
formierten) zeigt, kommen alle kleineren |a,| bei schlichten Abbil- 
1 
[el 
auf die von —— nach © geradlinig aufgeschnittene Ebene ab. Wir 
du 
dungen wieder vor. Denn die eben genannte Funktion bildet |z| < 
! Vgl. seine oben genannte Arbeit. 
