46 Gesamtsitzung vom 20. Juli 1916. — Mitteilung vom 6. Juli 
haben damit nicht nur unseren Satz IV bewiesen, sondern darüber 
hinaus auch erkannt, daß die Zahl r, des Satzes IV die 2 ist, und 
daß für a, auch wirklich alle Werte dieses Kreises | a, | < 2 vorkommen. 
Wenn es mir auch nicht gelungen ist, für die andern Koeffizienten 
ein ähnlich abschließendes Resultat zu erreichen, so möchte ich doch 
noch zeigen, daß auch der Wertevorrat jedes andern Koeffizienten gerade 
einen Kreis erfüllt. Das folgt einfach daraus, daß für |%|< I mit f(e) ° 
15 5 ng z 
stets auch 7, ka) für |2| < 1 regulär und schlicht ist. Der nte Ko- 
effizient dieser Funktion ist aber a,k""'. Ist also a“ nter Koeffizient 
einer schlichten Abbildung, so auch alle a, aus dem Kreis |«,|<| a‘) |. 
Darin liegt bekanntermaßen unsere Behauptung‘. Man muß sich in- 
dessen hüten, dies Resultat in zu starkem Maße umzukehren. Es 
bildet ganz und gar nicht jede Funktion schlicht ab, deren Koeffi- 
zienten den gefundenen Kreisen angehören. Z.B. bildet schon die Funk- 
tion w = 2-+ 22° den Kreis |z | < 1 nicht auf einen schlichten Bereich 
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ab, denn wir haben gesehen, daß > n2’ die einzige schlicht abbil- 
dende Funktion mit a, — 2 ist”. 
Wir ziehen noch eine Folgerung aus diesen Betrachtungen: 
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Satz V. Wenn |z|> 1 durch w= F() = 2+—+ ::- schlicht ab- 
gebildet wird, so liegen alle Randpunkte des Bildbereiches im Kreise | w|< 2, 
und es finden sich auf diesem Kreise nur dann Randpunkte des Bildbe- 
1 
reiches, wenn es sich um die durch die Funktion F(2) = z2+ — vermittelte 
Abbildung von | z| > 1 auf die von —\ bis + 1 aufgeschlitzte Ebene handelt, 
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oder wenn die Abbildungsfunktionen ee (e'”2) vorliegen, die gleich- 
falls auf Schlitzbereiche abbilden, welche aus den eben genannten durch 
Drehung hervorgehen. 
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! Daß A„>n zeigt das Beispiel I r2”. Vielleicht ist überhaupt A, = n. 
® Die hier gefundene Tatsache, daß 2 die genaue Schranke für |«a,| ist, er- 
laubt es, gewisse Untersuchungen über den Korszschen Verzerrungssatz zu Ende zu 
führen, welche schon Hr. Premers auf der Wiener Naturforscherversammlung vorge- 
tragen hat, und die unabhängig davon kürzlich Hr. Pıck angestellt und (Leipz. Ber. 
1916) veröffentlicht hat. 
® Man vgl. zu diesem Satz einen von Korsr, Göttinger Nachrichten 1908, S. 348. 
Der hier bewiesene Satz V liefert zugleich den Korseschen und zeigt, daß der ge- 
naue Wert der Konstanten, deren Existenz dort bewiesen ist, die 4 ist, und daß diese 
Konstante nur bei Schlitzabbildungen erreicht wird. 
* Der Satz ist ferner nahe verwandt mit dem Satz I, den ich auf S. ı53 von 
Bd. 77 der Math. Ann. aufgestellt habe, besagt aber ersichtlich noch etwas mehr als dieser. 
