J48 Gesamtsitzung vom 20. Juli 1916. — Mitteilung vom 6. Juli 
nZ 80 
mehrfach erwähnt Dn2 den Einheitskreis schlicht ab. Ferner bildet 
n—1l 
f ı rn ii Er 
mit w(2) = 2 + auch Vw(z?) = 2+ ae + das Äußere des Ein- 
heitskreises schlicht ab. Und hier ist, wie schon die Betrachtung 
der ersten Glieder zeigt, die hinreichende Bedingung nicht erfüllt. 
II. Abschnitt. Die notwendigen und zugleich auch hinreichenden Bedingungen. 
Die Methoden des vorigen Abschnittes erlauben es nicht, zur vollen 
Erledigung unseres Problemes vorzudringen. Ich schlage daher nun 
einen neuen Weg ein. Er beruht darauf, daß ich die Aufgabe zunächst 
für rationale Funktionen löse und von diesen durch Grenzübergang zu 
beliebigen Potenzreihen aufsteige. 
$5. Die schlichte Abbildung des Einheitskreises durch ganze 
rationale Funktionen. 
Wir betrachten zunächst den Fall, daß sich die Schliehtheit der 
Abbildung auch noeh auf den Rand des Einheitskreises erstreckt, daß 
also auch dort die Funktion f(2) = 2+a,2”?+---+a,z” keinen Wert 
mehr als einmal annimmt; und daß auch dort ihre Ableitung nicht 
verschwindet. Wir bilden wieder 
2,2) = II elta ta)4+ + le Ha Han 
und wissen dann, daß für die Schlichtheit von f(2) notwendig und 
hinreichend ist, daß # (2, , 2,) +0 für | | <1 und 2: | <1. Denn ver- 
schwände $(2,,2,) für 2,-F2,, so nähme /(2) an diesen beiden Stellen 
denselben Wert an, und wäre &(2,,2,) — 0 für 2 = 2, =Qq, so ver- 
schwände f (a); denn es ist ja f (a) = dla, a). 
Nun setze ich ®, (2,2) = ale . Dann gilt der 
folgende Satz VI: Dafür, daß f(2) für |z|< 1 schlicht ist, lautet die not- 
wendige und hinreichende Bedingung, daj3 die beiden Gleichungen $ (2, , 2,) = 0 
und d,(3,2) = 0 für |z,| = 1 keine gemeinsame Wurzel z, besitzen. 
Zum Beweise der Notwendigkeit bemerken wir zunächst, daß 
®(z,2,) für |2,] = I und 2, = 0 nicht verschwinden kann. Denn es 
ist 2,9 (2,,0) = f(z), und das kann natürlich bei schlichter Abbildung 
für | >, | = I nicht verschwinden. Daher hat dann weiter $, (2, , 2) die- 
-ı =. 
Ba 1 l l 
selben Nullstellen wie & er 5 — und dies die gleichen wie & = : .) 
