L. Bıegergacn: Über die schliehte Abbildung des Einheitskreises 949 
Daher bleibt zu beweisen, daß bei schlichter Abbildung die beiden 
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Gleichungen $(2,,2,) = 0 und & (= ‚— | keine gemeinsame Lösung 
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mit 2, | — ] besitzen können. Sei nämlich 2, = a, 2, = b eine solche, 
dann ist entweder |d| < l1oder| 5 | = 1 oder|5|> 1. Im ersten Falle wird 
f(a) = f(b), also die Abbildung im Einheitskreis nicht schlicht. Wenn im 
zweiten Falle a+Db, so folgt wieder aus p (a,b) = 0, daß f(a) = f(b), 
daß also die Abbildung nicht schlicht ist. Ist aber a = b, so folgt 
aus d(a,b) = 0, daß f(a) = 0, daß also am Rande des Einheits- 
kreises die Ableitung verschwindet gegen unsere Annahme. Ist aber 
endlich im dritten Falle |6| > 1 für die Lösung «@,b unserer beiden 


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Gleichungen $(a,b) = 0 und & (> —| —=0, so bemerken wir ein- 
Bulb 
141 i . AAN EHERE 3 
fach, daß auch a, = —, — = b, eine gemeinsame Lösung ist. Für diese 
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neue gemeinsame Lösung ist aber |), |<! und |a,|=1, so daß 
wieder der zweite Fall vorliegt. Damit ist die Notwendigkeit unserer 
Bedingung erkannt. 
Um zu zeigen, daß sie hinreichend ist, bemerke ich, daß im 
Falle einer nicht schliehten Abbildung die für |2|<1 beschränkte 
Funktion f(z2) den Kreis |z| = 1 nicht auf eine einfach geschlossene 
einmal durchlaufene Kurve abbilden kann. Denn dann würde durch 
(2) nach einem bekannten Satz |2|< 1 auf ihr schlicht bedecktes 
Innere abgebildet. Daher muß es ein Wertepaar ,—=a und ,=b 
mit |a|= 1 und | | = 1 geben, für das $ (a,b) =0. Für dieses wird 
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aber auch ie .) — 0. "Denn wenn)|2| 1, so ist 2 Also 
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ist unsre Bedingung auch hinreichend. Denn die eben gefundene 
Lösung genügt natürlich auch der Gleichung 9, (a,b) =0. 
Wir bilden nun die Resultante R(z,) der beiden Gleichungen 
(2,2%) = Oundo, (2, , 2,)—0.Diesebesitztdiefolgende Eigenschaft. Wenn 
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2, = airgendeine' Nullstelle von R (2,) = 0 ist,so ist auch 2, = — eine 
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Nullstelle von R (2) = 0. Denn wenn 2, — b die gemeinsame Wurzel 
der beiden Gleichungen = 0 und $, = ist, so kann 5 nieht ver- 
schwinden, weil ja, (,0)=a,27" wäre, also auch 2, = a=( sein 
müßte. Es ist aber $ (0,0)—=1. Daher ist wegen des Ausdrucks 
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Non d, = 24 243 le.) die Zahl 5 auch eine gemeinsame Null- 
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a 
! Man sieht den beiden Funktionen ® und ı unmittelbar an, daß die Resultante 
keine verschwindende Wurzel besitzen kann. 
Sitzungsberichte 1916. 80 
