950 Gesamtsitzung vom 20. Juli 1916. — Mitteilung vom 6. Juli 
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Darin liegt schon unsre Behauptung. Alle nicht auf dem Einheits- 
kreis gelegenen Wurzeln der Resultante sind also paarweise konjugiert 
la (@ b )L — 
reziprok. Lasse ich nun ausgehend von einer bestimmten Resultante 
(die Koeffizienten (a,...a,) der Funktion f(z) variieren, so kann die 
Zahl der im Einheitskreis gelegenen Wurzeln der zugehörigen Re- 
sultanten sich nur dann ändern, wenn mehrfache Wurzeln auftreten. 
Durch die Diskriminantenfläche der Resultante wird daher der Koeffi- 
zientenraum (a,...a,) in mehrere Stücke zerlegt, deren jedes durch 
eine bestimmte Zahl von Wurzeln der Resultante von einem Betrag 
kleiner als Eins charakterisiert ist. Das (oder diejenigen) dieser Ge- 
biete, für welches diese Zahl gerade die Hälfte aller Wurzeln der Re- 
sultante ausmacht, ist das Gebiet unsrer schlichten Funktionen. Wir 
werden nun weiter zeigen, daß dies ein einziges einfach zusammen- 
hängendes Gebiet ist!. Schon hier sei gleich bemerkt, daß zwar die 
inneren Punkte der eben bestimmten Gebiete schlichte Abbildung von 
|2|<! liefern, daß aber die Randpunkte eines solchen Gebietes immer 
noch auf schlichte Abbildung von |2|<1 führen. Denn nenne ich 
eine Funktion, deren Koeffizienten einen Randpunkt liefern, eine Rand- 
funktion, so kann jede Randfunktion als Grenzfunktion von »inneren« 
Funktionen, die also [2|<1 schlicht abbilden, aufgefaßt werden. 
Wenn aber die Funktionen f}....,/,... den Einheitskreis schlicht 
abbilden und wenn lim f, = f gilt, dann bildet auch f(z) den Einheits- 
n—w 
kreis schlicht ab, da die Wurzeln der zugehörigen Funktionen @ (2,3,) 
sich stetig mit den (a,...«a,) ändern. 
$6. Das Gebiet der schlicht abbildenden ganzen rationalen 
Funktionen n-ten Grades. 
Ich beweise zunächst Satz VII: Die . Tees der für |2|<1 
schlicht abbildenden Funktionen f(2) = + @, -+a,2” erfüllen ein ein- 
fach zusammenhängendes Gebiet im Raume = Koeffizienten (a, q, 
! Eine zweite Methode zur Herleitung des bisher gewonnenen Resultates ergibt 
sich durch folgende Bemerkung. Für die Schlichtheit von /(z) ist notwendig und 
hinreichend, daB p (a3) —=0 für |z, |=1 keine Wurzel |z,| <1 besitzt. Tragen 
wir nun in #(2,%) ein 2, = pa = a EI’ so möge sich $ (2,3) = (y,%) er- 
geben. Die Sehlichtheitsbedingung spricht sich dann dahin aus, daß ) (y,3,) = 0 für 
reelle y, nur Wurzel y, mit negativem Imaginärteil haben darf. Damit gewinnt man 
Anschluß an das bekannte von Hrn. Hurwrrz Ann. 46 behandelte Problem. 
