L. Bıesersacn: Über die schlichte Abbildung des Einheitskreises 951 
Wenn nämlich (a,---a,) den Kreis 2 |<s1 schlicht abbildet, so 
kann (a,---a,) nicht Häufungsstelle von Funktionen sein, die diese 
Eigenschaft nicht besitzen. Denn seien f;(2) solehe Funktionen und 
20, z® ein Wertepaar aus |z|<1, für Be — f;(e<®). Dann wähle 
ich. eine Teilreihe aus, für die I 20 — z, und lim 2 = z, existieren. 
i= co i=00 
Dann ist für die Grenzfunktion! f(z)) = f(z). Sie bildet also |2|<1 
nicht schlicht ab. Es gibt sonach um jeden Punkt, der eine für | 2 | <I1 
schlichte Funktion repräsentiert, eine volle Umgebung von Punkten, 
die solche Funktionen repräsentieren. 
Wenn wir also nun noch zeigen können, daß die Menge der 
Punkte, welche für | 2 | < 1 schlichte Funktionen darstellen, zusammen- 
hängend ist, so ist die Gebietseigenschaft nachgewiesen. Wenn aber 
f(e) für |z|< 1 schlicht ist, so gilt das gleiche für f(r2), falls O<r<I 
1 
ist, also auch für —f(rz2). In A,=r"'a(k= 2,3-.-.n) haben wir 
= 
daher eine stetige Kurve in Parameterdarstellung (r Parameter) vor uns, 
die den Punkt (a,---a,) mit dem Koordinatenanfangspunkt verbindet. 
Dieser repräsentiert aber die schlichte Funktion f(2) = 2. Da so alle 
Repräsentanten schlichter Funktionen durch eine nur Repräsentanten 
schliehter Funktionen passierende stetige Kurve mit dem Koordinaten- 
anfangspunkt verbunden werden können, ist die Gebietseigenschaft 
erkannt. 
Nun bleibt noch der einfache Zusammenhang zu beweisen. Das 
gelingt, wenn wir nachweisen, daß die Randpunkte des Gebietes eine 
zusammenhängende Menge bilden. Die Randpunkte werden aber von 
denjenigen Punkten geliefert, welche zwar noch | z| <1, aber nicht mehr 
lz | <1 schlicht abbilden. Seien nun (a,---a,) die Koeffizienten irgend- 
einer für |z| <1 schlichten Funktion ‚f(2), so gibt es eine wesentlich 
1 
positive Zahl R(a,---a,) derart, daß für r<R die Funktion — f(r2) 
” 
den Kreis |2|<1 schlicht abbildet, daß für r = R noch der Kreis 
| 2 | <1 schlicht abgebildet wird und daß für r> R auch | | <]1 nicht 

l 
mehr schlicht abgebildet wird. Sei nämlich — f(r,2) für | 2 | < ! schlicht, 
T, 
1 
so ist nach einer schon vorhin angestellten Betrachtung — f(r2) mit 
- 7 
r<r,, schlicht für |z |< I. Aus dieser Bemerkung ergibt sich nach 
einer z.B. bei der Bestimmung des Konvergenzbereichs einer Potenz- 
reihe üblichen Betrachtung die Richtigkeit der eben aufgestellten Be- 
! Die Konvergenz der ganzen rationalen Funktionen ji (2) gegen die ganze 
rationale Funktion /(<) ist natürlich für || <1 gleichmäßig. 
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