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L. Bıesersach: Über die schlichte Abbildung des Einheitskreises Ye 
Funktionen gehören, der Rand von denjenigen, zu welchen nur Funktionen 
gehören, die lediglich für |2| < 1 schlicht sind. 
Der Beweis verläuft ganz analog wie der von Satz VII. Wir 
führen ihn daher nicht ins Einzelne durch. 
$ 7. Schlicht abbildende Potenzreihen. 
l 
Wenn (2) den Kreis |2|< 1 schlicht abbildet, so bildet — f{r>) 
für r<1 den Kreis |2|<1 schlicht ab und ist für |2]|<1 regulär. 
Da so f(z) (natürlich im Sinne gleichmäßiger Konvergenz) als Grenz- 
funktion für |z|< 1 schlichter Funktionen angesehen werden kann, 
so können wir uns zunächst auf die Betrachtung dieser beschränken. 
Hier gilt nun Satz IX: Dafür, daß die für |z| < 1 reguläre Potenzreihe 
(2) den Kreis |2|< 1 schlicht abbildet, ist notwendig und hinreichend, daß 
ihre Abschnitte (Partlialsummen) von einem gewissen an, diesen Kreis schlicht 
abbilden. 
Sei nämlich f(2) = 2-+a,2°+--- die Potenzreihe und 
Aeo=z+ae+...ta,2 
ihr n-ter Abschnitt. Da nun aber der Konvergenzkreis der Potenz- 
reihe und der Kreis, den sie schlicht abbildet, einen Radius größer als 
eins besitzt, so gilt für ganz |z|<1 gleichmäßig f(z) = lim f,(2). Dar- 
n= 
aus folgt die Behauptung. Dremerkung: Man sieht, wie die Voraus- 
setzung der Regularität für |2|<1 nicht voll entbehrt werden kann. 
Wohl aber kann sie durch eine andere, weniger besagende, ersetzt 
werden, die z. B. gilt, wenn f(2) den Kreis |2| <1 auf das Innere einer 
Jordankurve abbildet. Dies folgt aus einem bekannten kürzlich von 
Hrn. Fes£er gefundenen Satz'!. Ich bezeichne nun mit B{) denjenigen 
Bereich des Raumes (a, - - -a,), welcher nach Satz VIII von den m ersten 
Koeffizienten einer für| 2|<1 schlichten ganzen rationalen Funktion nten 
Grades gebildet wird. Der Bereich B*+ umfaßt jedenfalls den Bereich 

m 
B®, und daher ist lim B”) — B,, wieder ein einfach zusammenhängen- 
m 
n = 00 
der Bereich”. Nach Satz IV liegt derselbe jedenfalls ganz im End- 
lichen und enthält alle die Koeffizienten (a,---a,), welche als m erste 
Koeffizienten einer für | 2 | Sı schlichten Potenzreihe f(2) =2-+a,2’+-- 
auftreten können. Auf die Frage, ob umgekehrt alle Punkte von 5, 
diese Eigenschaft besitzen, antwortet der Satz X: Wenn die Koeffizienten 
! L. Feser, Über die Konvergenz der Potenzreihe an der Konvergenzgrenze 
in Fällen der konformen Abbildung auf die schlichte Ebene. Math. Abh., H. A. Schwarz 
zu seinem 5ojährigen Doktorjubiläum, S. 42 ff. 
2 Er besteht also aus allen denjenigen Punkten, die für irgendein n (innere) 
Punkte eines B) sind. 
