954 Gesamtsitzung vom 20. Juli 1916. — Mitteilung vom 6. Juli 
(a, -a,) aus dem Innern oder dem Rand von B,, gewählt sind, dann, und nur 
dann, lassen sich a, 1; @, 43°" so bestimmen, daß die Funktion 2+ a,2” +: 
für |2| <1 schlicht abbildet. 
Es bleibt nur die zweite Hälfte des Satzes zu beweisen, nämlich, daß 
die darin genannte Bedingung hinreichend ist. Ist aber etwa (a, --a,) ein 
Punkt aus dem Innern von B,, so gehört er von einem gewissen n an 
auch den BY) an. Er repräsentiert also schon die » ersten Koeffizienten 
von ganzen rationalen Funktionen f,(2), die für |z]= 1 sehlieht sind. 
Wenn aber (a,---a,) einen Randpunkt von B, bedeutet, so kann 
der Beweis unseres Satzes wie folgt erbracht werden. Wir markieren 
in D, eine Reihe von inneren Punkten, die gegen den gegebenen kon- 
vergieren, bestimmen, wie eben dargelegt, zugehörige schlichte Potenz- 
reihen und wählen daraus eine gleichmäßig konvergente Folge aus. 
Die Grenzfunktion hat die gewünschten Anfangskoeffizienten und bil- 
det lz|<ı schlieht ab. Die eben benutzte Auswahl ist möglich, weil 
nach einem schon oben erwähnten Satz Korses, alle für | 2 |<1 schlichten 
und regulären Funktionen für jeden inneren Teilbereich von [21<1 
gleichmäßig beschränkt sind. 
Nun sind wir endlich in der Lage, die notwendigen und hin- 
reichenden Bedingungen für die Koeffizienten schliehter Potenzreihen 
anzugeben. Das geschieht durch 
Satz XI: Dafür, daß f(z) = 2+ a,2”+:-- den Kreis |z|<1 schlicht 
abbildet und für |2|<1 regulär ist, ist notwendig und hinreichend, daß für 
‚jedes n die Koeffizienten (a,---a,) einen Punkt des Bereiches B, oder seines 
Randes ergeben. 
Daß diese Bedingung notwendig ist, wurde schon durch Satz X 
festgestellt. Daß sie hinreichend ist, bleibt nun noch zu beweisen. 
Zu dem Zweck bestimme ich nach dem beim Beweis von Satz X aus- 
einandergesetzten Verfahren eine für |2 |< schlichte Potenzreihe mit 
den Anfangskoeffizienten (a,---a,). So erhalte ich den verschiedenen 
Werten von n entsprechend eine Folge für |z|<1 schlichter Funk- 
tionen, aus welcher ich eine für jeden Teilbereich von |z|<1 gleich- 
mäßig konvergente Folge auswähle. Die Grenzfunktion bildet |z]|<1 
schlicht ab und hat die gewünschten Koeffizienten. 
Zusatz: Wenn auch nur für einen Wert von n der Punkt (a,-- a, 
dem Rand von B, angehört, so ist die Funktion für E | — ] entweder 
nicht mehr schlicht oder nicht mehr regulär. Denn dann gehört auch 
für alle folgenden Werte von n der Punkt (a,---a,) dem Rande von 
B, an. Wäre aber die Funktion für |z |S1 schlicht und regulär, so 
müßten von einem gewissen n an auch ihre Abschnitte Br 2) 
schlieht sein. Dann müßten aber ihre Koeffizienten dem Inneren des 
betreffenden Bereiches angehören. 
