L. Bıegersacn: Über die schlichte Abbildung des Einheitskreises 955 
Daß die Bereiche B, einfach zusammenhängend sind, wurde schon 
erwähnt. Daß sie von Jornanschen Mannigfaltigkeiten begrenzt sind, 
und damit auch aufs neue, daß sie einfach zusammenhängend sind, 
läßt sich durch Gedankengänge beweisen, die den zu ähnlichem Zweck 
bei den ganzen rationalen Funktionen verwendeten ganz analog sind. 
Wir führen das nicht mehr näher aus. 
Bemerkung: Ausdrücklich sei noch hervorgehoben, daß die Be- 
reiche B, nieht etwa dadurch mehrfach zusammenhängend werden 
können, daß man die seither Randpunkte genannten Punkte hinzu- 
rechnet. Denn wenn (, --- &,) ein soleher Punkt ist, der nur bei Funk- 
tionen auftritt, die für [2| — ] nieht mehr schlicht sind, so gibt es 
in beliebiger Nähe desselben Punkte (a, ---@,), die überhaupt nicht 
mehr Anfangskoeffizienten von Funktionen liefern, die für |2|<1 
In — 
schlicht sind. Gehörten nämlich für irgend ein r, > 1 zu (na, 7, '&,) 
1 
Funktionen, die für |z|< 1! schlicht sind, so sei —f(r,2) (, > 1) eine 
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solche. Dann wäre aber — f(r2) für r <r, auch für |z|< 1 schlicht. 
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Also wäre namentlich f(z) mit den Anfangskoeffizienten (&,--- &,) für 
| 2 | < 1 schlicht, gegen die Annahme, daß es bei diesen Anfangskoeffi- 
zienten keine derartigen Funktionen geben soll. 
$8. Schlußbemerkungen. 
Für eine ganze Reihe anderer Probleme lassen sich analoge Be- 
trachtungen mit analogen Resultaten anstellen. Ich nenne da zunächst 
die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Koeffizienten 
einer Reihe z + Si = = + ++, welche |2|> 1 schlicht abbildet. Im 

wesentlichen hiermit identisch ist die Frage nach den Funktionen, die 
lz | < 1 schlicht abbilden, in diesem Kreis aber einen einfachen Pol be- 
sitzen dürfen. Ferner gehören dahin schlichte Abbildungen durch ge- 
brochene rationale Funktionen. Endlich gibt zu analogen Betrachtungen 
eine Modifikation des in der Einleitung schon erwähnten Problems 
von CArATHLoDorY Anlaß. Das ist die Frage nach den Koeffizienten 
einer Potenzreihe, welche | 3 | < 1 auf einen konvexen Bereich abbilden. 
Auch hier ergeben sich den in dieser Arbeit aufgestellten ganz analoge 
Ergebnisse. Auch in der wirklichen Bestimmung der Bereiehränder 
kann man hierbei zu befriedigenderen Resultaten gelangen, als ich sie 
beim Problem dieser Arbeit hier vorlegen kann. 

Ausgegeben am 27. Juli. 
Berlin, gedruckt in der Reichsdruckerei. 
