Fucas: Über eine Classe linearer homogener Differentialgleichungen. 
d.h. 
(N.) = — an = u (nach Gl. (K..)). 
Demnach ist die Form Y bis auf einen constanten Factor 
mit der Form $& übereinstimmend. 
Wir erhalten also den Satz: 
Ist für jeden beliebigen Umlauf der Variablen z um 
einen oder mehrere singuläre Punkte der Gleichung (A.) die 
zugehörige Fundamentalgleichung so beschaffen, dass sie 
durch die reciproken Werthe der Wurzeln derjenigen Glei- 
chung befriedigt wird, welche aus ihr durch Verwandlung 
der Coefficienten der verschiedenen Potenzen der Unbe- 
kannten in ihre conjugirten Werthe hervorgeht, und giebt 
es überdies wenigstens zu einem Umlaufe eine Fundamental- 
gleichung, deren Wurzeln die Moduln ı besitzen und von 
einander verschieden sind, so giebtes eine aus den Elemen- 
ten eines Fundamentalsystems von Integralen «,, %,,..., %, 
und ihren econjugirten Werthen w,w,...,w, gebildete bili- 
neare Form der Gestalt 
I 
= A,uw+ A,u,uU+...+ A, WU), 
deren Coefficienten von zunabhängig sind und reale Werth- 
verhältnisse besitzen, und welche für alle Umläufe der Va- 
riablen z ungeändert bleibt. 
2% 
Wir setzen jetzt umgekehrt voraus, dass es eine aus einem Fun- 
damentalsystem w,,%,,...,%, von Integralen der Gleichung (A.) und 
aus ihren conjugirten Werthen w,w,,...,u, gebildete bilineare Form 
$ giebt: 
— eye son 
(1.) 9=2,0 U}, ) 
deren Coeffieienten Q*" von z unabhängig, und welche durch 
keinen Umlauf von z verändert wird. 
Überdies seien für wenigstens einen Umlauf die Wurzeln A,,A,,...,A, 
der zugehörigen Fundamentalgleichung von einander verschieden, und 
ihre Moduln gleich ı. Das dieser Fundamentalgleichung entsprechende 
Fundamentalsystem haben wir mit w,,%,,...,%, bezeichnet. Wir 
machen endlich noch die Voraussetzung, dass zwischen den Grössen 
u,u; nicht eine lineare homogene Relation mit eonstanten Coeffieienten 
stattfinden könne. 
