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Fucus: Über eine Classe linearer homogener Differentialgleichungen. 76 
derjenigen Gleichungen befriedigt werden, welche aus ihnen durch 
Verwandlung der Coeffieienten der sämmtlichen Potenzen der Unbe- 
kannten in ihre conjugirten Werthe hervorgehen, so haben die auf (A.) 
bezüglichen Fundamentalgleichungen dieselbe Eigenschaft. 
I. Der Satz am Schlusse der Nr. ı gilt daher für eine 
Differentialgleichung der Form («.) ebenso wie für eine Diffe- 
rentialgleichung der Form (A.) 
Wenn wir umgekehrt voraussetzen, dass eine aus einem Funda- 
mentalsystem w,, w,,..., w, von Integralen der Gleichung («.) und 
aus ihren conjugirten Werthen w/, w/, ..., w, gebildete bilineare Form 
mit eonstanten Coefficienten existirt, welche durch keinen Umlauf von 
2 verändert wird, und dass mindestens für einen Umlauf die zugehörige 
Fundamentalgleichung von einander verschiedene Wurzeln mit den 
Moduln ı besitzt, dass endlich zwischen den Grössen ,w keine lineare 
homogene Relation mit eonstanten Coefficienten Statt hat, so ergiebt 
sich, wenn wir Schritt für Schritt die Schlüsse der Nr. 2. verfolgen, 
an Stelle des dortigen Satzes I. der Satz: 
T. Jede Hauptunterdeterminante p“" Ordnung der Deter- 
minante |A,,| ist gleich dem Producte aus der entsprechenden 
Hauptunterdeterminante der Determinante |a,| und |A,P, 
ter 
und an Stelle des Satzes II. daselbst der Satz: 
I. Jede Hauptunterdeterminante (a —p)‘“ Ordnung der 
Determinante |A,,| ist gleich dem Producte aus |a,| und der- 
jenigen Hauptunterdeterminante p““ Ordnung der Deter- 
minante [a,|, welche die Diagonalglieder mit denselben 
Indices wie die der ersteren Hauptunterdeterminante aus- 
schliesst. 
Die auf («.) bezügliche zur Substitution (a,) gehörige Funda- 
mentalgleichung ist aber der Form 
ter 
(8.) — I)" + (— a + DR Er 
+ - NR. + au| = 0; 
wo IR dieselbe Bedeutung wie in Gleichung (E.) hat. 
Aus dem Satze IT. ergiebt sich 
i SR. = as VE 
(9 ) uf ‚ke la. > k 
welches die Bedingung dafür ist, dass die Gleichung (8.) durch die 
reciproken Werthe der Wurzeln derjenigen Gleichung, welche aus ihr 
durch Verwandlung der Coeffiecienten der Unbekannten in ihre con- 
Jugirten Werthe hervorgeht, befriedigt wird. 
