768 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 9. Juli. 
gleichung, von der Beschaffenheit, dass v nach Vollziehung des Um- 
laufes in 
u= wu 
übergeht. 
Da die Wiederholung des Umlaufes nur eine endliche Anzahl 
von Zweigen der Function « hervorrufen kann, so muss w eine ganz- 
zahlige Wurzel der Einheit sein. Diejenige Gleichung also, welche 
aus der Fundamentalgleichung durch Vertauschung der Coeffieienten 
der verschiedenen Potenzen der Unbekannten mit ihren eonjugirten 
Werthen hervorgeht, wird demnach durch die reeiproken Werthe der 
Wurzeln der Fundamentalgleichung befriedigt. 
Aus dem Satze T. der Nr. 3. ergiebt sich also das folgende 
Theorem: 
I. Sind die Integrale einer linearen homogenen Diffe- 
rentialgleichung mit eindeutigen Coeffieienten sämmtlich 
endlichwerthige Funetionen der unabhängigen Variablen 2, 
und sind überdies wenigstens für einen Umlauf von 2 die 
Wurzeln der zugehörigen Fundamentalgleichung verschie- 
den, so giebt es eine aus einem Fundamentalsystem von 
Integralen , %, ..., und ihren conjugirten Werthen 
[4 
WU, ...,%, gebildete bilineare Form der Gestalt 
! ! ’ 
= AuW+ A, U,W+...+ A,%, Un 
mit eonstanten Coefficienten — deren Werthverhältnisse 
real —, welche bei allen Umläufen von 2 ungeändert bleibt. 
Als Corollar zu diesem Satze ergiebt sich: 
I. Ist eine lineare homogene Differentialgleichung n'” 
Ordnung algebraisch integrirbar, und hat wenigstens für 
einen Umlauf die zugehörige Fundamentalgleichung un- 
gleiche Wurzeln, so giebt es eine aus einem Fundamental- 
systeme von Integralen %,%,...,% und ihren conjugirten 
Werthen «,W,...,ı, gebildete bilineare Form 
/ 2 
= AuwuWl+ A uU, +... + A,u u, 
mit constanten ÜCoefficienten — deren Werthverhältnisse 
real —, welche bei allen Umläufen von 2 ungeändert bleibt. 
In einer Notiz’ hat Hr. Pıcarp, davon ausgehend, dass für die- 
jenigen algebraisch integrirbaren Differentialgleichungen zweiter Ord- 
nung, welche durch Gauss’sche Reihen befriedigt werden, eine bi- 
lineare Form 
Au,u, + Bu,u, + Bu u, + Cu,u, 
! Bulletin de la Soeiete Math&matique, t.15, p.154, 20 Avril 1887. 
