Frosenıus: Über Gruppencharaktere. 187 
weise des Syrow’schen Satzes, Crerre’s Journal Bd.ıoo vortheilhaft 
Gebrauch gemacht habe. Das Hauptelement # bildet für sich eine 
Classe, die Hauptelasse. Sie werde mit (0), die übrigen mit (1), 
(2), --- (k-1) bezeichnet, wenn %k die Anzahl der Classen ist. Ist A 
irgend ein Element der «“" Classe, so bilden die mit A vertausch- 
baren Elemente von 9 eine in 9 enthaltene Gruppe. Ist = ihre Ord- 
nung, so ist A, die Anzahl der verschiedenen Elemente der «“" Classe, 
also ,=1. Da jedes Element von 5 einer und nur einer dieser 
k Classen angehört, so ist 
(1) Eh.=h. 
Die Classenanzahl % kann man auch so erhalten: Durchläuft jedes 
der beiden veränderlichen Elemente R und 5 unabhängig von dem 
anderen die A Elemente von 9, so zähle man ab, wie oft SR= RS 
ist. Setzt man für R ein bestimmtes Element der «“" Classe, so giebt 
] 4, 3 
es — mit R vertauschbare Elemente 8. Setzt man also für R der 
Reihe nach jedes der A, Elemente der «“" Classe, so erhält man 
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he 
Classen dieselbe ist, so ist 4% die Anzahl der Lösungen der Gleichung 
SR RS: 
Durchläuft A die A, Elemente der «“" Classe, so durchläuft auch 
A” die sämmtlichen Elemente einer Classe. Sie möge die inverse 
Classe von (&) heissen und mit (&’) bezeichnet werden. Inverse Classen 
enthalten gleich viele Elemente, 
(2.) De 
h, Lösungen für jene Gleichung. Da diese Zahl für jede der % 
Ist, wie z. B. bei der Hauptelasse, («') = («), so wird die «' Classe 
eine zweiseitige genannt. 
Seien (x), (8), (y) irgend drei verschiedene oder gleiche Classen. 
Durchläuft A die A, verschiedenen Elemente der «“" Classe, D die Ah, 
Elemente der &“" und C die A, Elemente der y“”, so soll die Zahl A,;, 
(die auch Null sein kann) angeben, wie viele der h,h; A, Elemente ABC 
gleich dem Hauptelemente sind, also der Gleichung 
(3.) ABC=E 
genügen. Da dann AR = C ist, so giebt A,,, auch an, wie viele der 
h.h; Elemente AB der Classe (y) angehören. Die Gleichung (3.) ist 
identisch mit BCA= E und CAB=E. Daher sind auch A,,, der 
h;h, Produete BC in («) und A,,, der h,h, Producte CA in (C) ent- 
halten. Mithin ist A,,, nieht grösser als die kleinste der drei Zalılen 
h;h,, h,h, und h.hz. 
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