988 Gesammtsitzung vom 30. Juli. — Mittheilung vom 16. Juli. 
Nun sind aber die beiden Elemente AB und 
(4.) BA— A(AB)A— B(AB)B- 
conjugirt. Sie gehören daher der Gruppe (Y) entweder beide an, oder 
beide nieht. Mithin ist Az., = Ü«.s,. In Verbindung mit den obigen 
Bemerkungen folgt daraus, dass die Zahl A,;, bei jeder Vertauschung 
der drei Indices ungeändert bleibt. Da aus der Gleichung (3.) auch 
C"B’AT=E folgt, so ist 
(5-) hazıy — haay. 
Setzt man in der Gleichung (3.) für A ein bestimmtes Element der 
a'® Classe, während B und € ebenso veränderlich bleiben wie oben, so 
möge sie m Lösungen haben. Ist A= TAT irgend ein anderes be- 
bestimmtes Element der «"" Classe, und setzt man B’—= T"BT und 
C’' = T"CT, so ist auch AB’C’—= E. Nun durchläuft B’ gleichzeitig 
mit B die A; Elemente der &“" Classe, und C’ gleichzeitig mit € die 
h, Elemente der y“ Classe. Daher hat auch diese Gleichung m Lösun- 
gen. Setzt man also in (3.) für A der Reihe nach die A, Elemente 
der «“" Classe, so hat sie im Ganzen h,m = h,,, Lösungen. Ebenso 
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hat jene Gleichung TI Lösungen, wenn B ein bestimmtes Element der 
l 
a Classe ist, während A und © veränderliche Elemente der «“ und 
der y“* Classe sind. Mithin ist %,;, durch jede der drei Zahlen A,, Az, A, 
theilbar, also auch durch ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches. 
Setzt man für A der Reihe nach die A, Elemente der «'“" Classe 
und für B die h, Elemente der £“* Classe, so erhält man A,h; Elemente 
AB, die nicht verschieden zu sein brauchen. Jedes derselben gehört 
entweder der Classe (0) oder der Classe (1) ... oder der Classe (k—1) 
an. Daher ist 
(6.) Z ha, — hahg. 
Die für drei Classen angestellte Betrachtung lässt sich in derselben 
Art für beliebig viele Classen durchführen. Seien etwa («), (8), (y); (8) 
vier verschiedene oder gleiche Classen, und sei A,.,; die Anzahl der 
Lösungen der Gleichung 
(7.) ABCD=E, 
falls A (bez. B, C, D) die A, (bez. A;, Ah,, A) Elemente der Classe («) 
(bez. (8), (y), (8)) durchläuft. Dann ist auch BODA = CDAB = DABC 
—= E, so dass h,;,,; bei eyklischer Vertauschung der Indices ungeändert 
bleibt. Ferner ist BCD= A”, CDA= B”, u.s.w. Mithin giebt A,a, 
an, wie viele der h;h,h, Elemente BCD der Classe (z') angehören, oder 
wie viele der h,h,h, Elemente CDA der Classe (2) angehören. Folglich 
ist A.s,, nicht grösser als die kleinste der vier Zahlen A;h,h,, Ah,hyh., 
= ——— =. 
